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出題（2019年2月号掲載分）／応募締切（2月8日）／解答（2019年5月号掲載）

エレガントな解答をもとむ(数学セミナー)｜ 2019.01.11

『数学セミナー』のコーナー「エレガントな解答をもとむ」の出題を掲載します．奮ってご応募ください．解答・講評(3ヶ月後)は，本誌にてご確認ください．

(毎月10日頃の掲載予定)

$\def\t#1{\text{#1}}$

出題1

$n,\,m$ を非負整数とします．このとき，二項係数に関する和
$\begin{align*} \sum_{\begin{subarray}{c} i+k=n\\ j+l=m \end{subarray}} (-1)^i(2i+2j+1)(2k+2l+1) \begin{pmatrix}i+j\\ i\end{pmatrix} \begin{pmatrix}k+l\\ k\end{pmatrix} \end{align*}$ をより簡単な形で表してください．和は $i+k=n,\,j+l=m$ を満たすような非負整数 $i,\,j,\,k,\,l$ 全体をわたります．

二項係数 $\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}$ は ${}_n\t{C}_k$ と書くこともよくあります．

出題：関真一朗

出題2

正の整数の列 $a=(a_1,\cdots,a_k)$ について，非負整数 $m$ が「 $a$ を用いて表せる」とは， $a$ のある部分列 $(a_{i_1},\cdots,a_{i_l})\ (1\leqq i_1<\dots< i_l \leqq k)$ について $m=a_{i_1}+\cdots+a_{i_l}$ が成り立つことと定義します． $a$ を用いて表せる整数全体の集合を $S(a)$ と書きます．例えば， $a=(1,1,4,6)$ のとき，部分列 $(1,4)$ や $a$ 自身についての和を考えると $5,\,12\in S(a)$ ですが，一方で $3\not\in S(a)$ です．( $0$ は「空っぽの部分列の和」と考えて，常に $0\in S(a)$ であるとします．)

問1　 $n$ を正の整数とします．条件

( $\ast$ )　 $S(a)$ が， $0$ から $n$ までの整数の集合 $\{0,1,\cdots,n\}$ と一致する

を満たす列 $a=(a_1,\cdots,a_k)$ が存在するような最小の $k$ (これを $k[n]$ と書きます)を答えてください．また，その最小の長さを持つ，条件 ( $\ast$ ) を満たす列の具体的な構成法を示してください．

問2　正の整数 $n$ について，条件 ( $\ast$ ) を満たす長さ $k[n]$ の列 $(a_1,\cdots,a_{k[n]})$ で $a_1\leqq \cdots\leqq a_{k[n]}$ を満たすものの個数を $d(n)$ と書きます．例えば $n=5$ のとき， $k[5]=3$ であり，上記の条件を満たす長さ 3 の列は $(1,1,3)$ と $(1,2,2)$ なので $d(5)=2$ ，という具合です．さて， $d(n)=1$ となる正の整数 $n$ をすべて決定してください．