（第5回）深まりゆく因数分解
数学の泉（高瀬正仁）｜ 2019.02.01
数学に泉あり。数学は大小無数の流れで構成されていて、今も絶え間なく流れ続けている雄大な学問ですが、どの流れにも源泉があり、しかもその源泉を作った特定の人物が存在します。共感と共鳴。数学の泉の創造者たちの心情と心を通わせることこそが、数学を理解するという不思議な体験の本質です。そこで数々の泉を歴訪して創造の現場に立ち会って、創造者の苦心を回想し、共感し、共鳴する糸口を目の当たりにすることをめざしたいと思います。(毎月上旬更新予定)
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「直角三角形の基本定理」を発見したフェルマは，類似の形の命題をほかにもいくつか見つけました．「4 で割ると 1 が余る素数」は，$x^2+y^2$ という二つの平方数の和の形にただひととおりの仕方で表示されることを主張するのが直角三角形の基本定理でした．なお一歩を進めて「8 で割ると 1 が余る素数」を考えると，そのような数は「4 で割ると 1 が余る素数」でもありますから $x^2+y^2$ という形をもちますが，ほかにもなお $x^2+2y^2$ および $x^2-2y^2$ という 2 通りの形をもつことを，フェルマは見出だしています．たとえば，素数 17 は
\begin{align*}
17=1^2+4^2=3^2+2 \times 2^2=5^2-2 \times 2^2
\end{align*}と表示されますし，もっと大きな事例では，素数 5953 は
\begin{align*}
5953=57^2+52^2=11^2+2 \times 54^2=79^2-2 \times 12^2
\end{align*}と表されます．ここにおいて問題となるのはこれらの3通りの表示の相互関係です．