出題（2019年5月号掲載分）／応募締切（5月8日）／解答（2019年8月号掲載）
出題1
$n$ を正の整数とする．実数係数の $n$ 次多項式 $P(x)$ が，方程式 $P(x) = 0$ が相異なる $n$ 個の実数解を持つように動くとき，$P(x)$ の $0$ でない係数の個数の最小値を求めよ．
出題：斎藤新悟
出題2
3 次元空間内で原点を中心とする，表面積が 1 の球面 $\varSigma$ 上で，一様密度の面素 $\sigma$ による面積分を考えます．$\varSigma$ 上の十分滑らかな関数 $f$ の “平均値” ($\sigma$ による積分値)を
\begin{align*}
I(f)=\int_\varSigma f\,d\sigma\tag{1}
\end{align*}と表します．
次にこの球に内接する立方体をとり，その 8 個の頂点 $\t P_j\ (j=1, 2, \cdots, 8)$ での関数値の平均値を
\begin{align*}
S(f)= \frac 18\sum^8_{j=1}f(\t P_j)
\tag{2}
\end{align*}と置きます．同様に球に内接する正八面体の 6 個の頂点 $\t Q_k\ (k=1,\cdots,6)$ での関数値の平均値を
\begin{align*}
T(f)=\frac 16\sum^6_{j=1}f(\t Q_j)
\tag{3}
\end{align*}と置きます．
問1 $f$ が 3 次以下の多項式ならば，つねに
\begin{align*}
I(f)=S(f)=T(f)
\tag{4}\label{eq:4}
\end{align*}となることを確かめてください．
問2 適当な定数 $\lambda\ (0<\lambda<1)$ をとり，内接立方体と内接正八面体の位置をうまく揃えると，5 次以下の多項式 $f$ について，$S,\,T$ の $\lambda$ による重みつき平均値が
\begin{align*}
I(f)=\lambda S(f)+(1-\lambda)T(f)
\tag{5}\label{eq:5}
\end{align*}となるようにできることを示し，そのための $\lambda$ の値を定めてください．
以上が今回の設問です(問 1 だけでも構いません)が，余力のある方は次の発展問題に挑戦してください．
問3 同様の操作を，球に内接する正十二面体と正二十面体の，それぞれ 20 個，12 個の頂点で行ったとき，(\ref{eq:4})の形の等式が 5 次以下の多項式 $f$ で成立することを確かめてください．さらに両正多面体をうまく揃えた位置に置き，適当な $\lambda$ (問 2 とは異なる値)による重みつき平均を作ると，7 次以下の多項式 $f$ について(\ref{eq:5})の形の等式が成立するようにできることを示してください($\lambda$ の値もこめて)．
出題：一松 信
応募規定［解答掲載2019年8月号］
郵送の場合
B5版の用紙をご使用のうえ，解答用紙 l 枚ごとにA：出題の番号(例：5月号出題1)，B：住所，氏名(ふりがなも明記，誌上での仮名を希望される方は，こちらに明記)，年齢，職業を記入して，下記宛先までお送りください．
〒170-8474 東京都豊島区南大塚3-12-4
日本評論社 数学セミナー〈エレガントな解答をもとむ〉係
メール送信の場合
B5版のサイズで，解答用紙 l 枚ごとにA：出題の番号(例：5月号出題1)，B：住所，氏名(ふりがなも明記，誌上での仮名を希望される方は，こちらに明記)，年齢，職業を記入して，下記フォームから PDF ファイルを送信して下さい．
解答記載に LaTeX ご利用の方は，テンプレートもご活用下さい．テンプレート利用は任意です．またテンプレートの漢字コードはUTF8です．ファイルが文字化けするときは適宜変換してお使いください．
投稿フォームが上手く動かないなどの場合は，susemi_elegant@nippyo.co.jp に直接お送り下さい．
注意事項
- 締切：2019年5月8日
- 二題に応募されるときは，郵送の場合は解答用紙を，メール送信の場合はファイルを，出題ごとにかえてください．
- 年齢を忘れずにお書きください．
- 解答用紙は両面の使用を不可とします．
- 解答用紙はご返却できません．
- 問題のご感想も歓迎します．
- 出題掲載号：数学セミナー2019年5月号
- 解答・講評は，本誌2019年8月号にてご確認ください．