出題（2019年6月号掲載分）／応募締切（6月8日）／解答（2019年9月号掲載）
出題1
四面体の各面が決定する平面のすべてに接するような球面の中で，四面体に含まれるものを四面体の内接球面，四面体の面の 1 つに四面体の外側から接しているものを四面体の傍接球面といいます．
正四面体 $\t{ABCD}$ の内接球面を $S$，傍接球面の中で面 $\t{ABC}$ に接するものを $T$ とします．正四面体の 3 つの頂点 $\t A,\,\t B,\,\t C$ を通る球面で，2 つの球面 $S,\,T$ の両方に接するような球面が存在することを証明してください．
実は，正四面体に限らず，どんな四面体でも同じ性質が成り立ちます．余裕のある読者は，正四面体以外の種類の四面体でも考えてみてください．ただし，一般の四面体での初等的な証明はまだ知られていません．
出題：前原 濶
出題2
$n$ を非負整数とするとき，
\begin{align*}
f_n(z):=\sum^n_{k=-n}z^k
\end{align*}とおきます($:=$ は，左辺の記号の定義が右辺のとおりであることを表します)．よく知られているように $f_n(z)$ は $x := z+z^{-1}$ の $n$ 次多項式 $F_n(x)$ として書くことができます．たとえば
\begin{align*}
f_0(z)&=1=:F_0(x),\\
f_1(z)&=z+1+z^{-1}=x+1=: F_1(x),\\
f_2(z)&=z^2+z+1+z^{-1}+z^{-2}=x^2+x-1=: F_2(x),\\
f_3(z)&=z^3+z^2+z+1+z^{-1}+z^{-2}+z^{-3}=x^3+x^2-2x-1=: F_3(x),
\end{align*}といった具合です．そこで一般の $n$ に対して，$F_n(x)$ を明示的かつなるべく簡単に書いてください．
出題：渋川元樹
応募規定［解答掲載2019年9月号］
郵送の場合
B5版の用紙をご使用のうえ，解答用紙 l 枚ごとにA：出題の番号(例：6月号出題1)，B：住所，氏名(ふりがなも明記，誌上での仮名を希望される方は，こちらに明記)，年齢，職業を記入して，下記宛先までお送りください．
〒170-8474 東京都豊島区南大塚3-12-4
日本評論社 数学セミナー〈エレガントな解答をもとむ〉係
メール送信の場合
B5版のサイズで，解答用紙 l 枚ごとにA：出題の番号(例：6月号出題1)，B：住所，氏名(ふりがなも明記，誌上での仮名を希望される方は，こちらに明記)，年齢，職業を記入して，下記フォームから PDF ファイルを送信して下さい．
解答記載に LaTeX ご利用の方は，テンプレートもご活用下さい．テンプレート利用は任意です．またテンプレートの漢字コードはUTF8です．ファイルが文字化けするときは適宜変換してお使いください．
投稿フォームが上手く動かないなどの場合は，susemi_elegant@nippyo.co.jp に直接お送り下さい．
注意事項
- 締切：2019年6月8日
- 二題に応募されるときは，郵送の場合は解答用紙を，メール送信の場合はファイルを，出題ごとにかえてください．
- 年齢を忘れずにお書きください．
- 解答用紙は両面の使用を不可とします．
- 解答用紙はご返却できません．
- 問題のご感想も歓迎します．
- 出題掲載号：数学セミナー2019年6月号
- 解答・講評は，本誌2019年9月号にてご確認ください．