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出題（2020年2月号掲載分）／応募締切（2月8日）／解答（2020年5月号掲載）

エレガントな解答をもとむ(数学セミナー)｜ 2020.01.09

『数学セミナー』のコーナー「エレガントな解答をもとむ」の出題を掲載します．奮ってご応募ください．解答・講評(3ヶ月後)は，本誌にてご確認ください．

(毎月10日頃の掲載予定)

$\def\t#1{\text{#1}}\def\R{\mathbb{R}}\def\N{\mathbb{N}}$

出題1

$\triangle\t{ABC}$ に対し，同じ平面上の点 $\t{P}$ からその 3 辺 $\t{BC},\,\t{CA},\,\t{AB}$ または延長上に引いた垂線の足(垂線とその辺との交点)を，それぞれ $\t{D},\,\t{E},\,\t{F}$ とします．もしもこれらがチェバ系のとき，すなわち 3 直線 $\t{AD},\,\t{BE},\,\t{CF}$ が同一点 $\t{Q}$ で交わるとき，点 $\t{P}$ を垂足チェバ点とよぶことにします．その軌跡 $\varGamma$ は一般に 3 次曲線であり，次の諸点を通ります：

3 個の頂点，内心，外心，垂心，3 個の傍心．(重心は二等辺三角形でなければ通りません．)

問1　オイラー線(外心，重心，垂心を通る直線)とこの曲線 $\varGamma$ との交点は(不等辺三角形なら) 3 点あります．そのうち2点は外心と垂心です．残る第 3 の交点は，$\triangle\t{ABC}$ に関してどのような点でしょうか？

問2　$\triangle\t{ABC}$ が正三角形なら $\varGamma$ は 3 本の対称軸に退化します．(これはほぼ自明で，証明する必要はありません．) 正三角形でない二等辺三角形のときには，$\varGamma$ は対称軸とそれを対称軸の一つとする双曲線とに分解されることを示してください．

注　問1，問2 は別の問題です．どちらか一方だけでも構いません．

出題：一松信

出題2

要素数が同じ有限集合 $A,\,B$ に対して(ただし，$A\cap B=\emptyset$)，直積 $A\times B=\{(a,b)\,|\,a\in A,\,b\in B\}$ の部分集合 $X$ として任意のものを考えます．このとき，各要素 $z\in A\cup B$ に文字列 $s(z)$ を割り当てて，次の条件を満たすようにできることを証明してください．

$(a,b)\in X$ であるとき，そして，そのときに限り，$s(a)$ の後側と $s(b)$ の前側が重なりを持つ．

「$s(a)$ の後側と $s(b)$ の前側が重なりを持つ」という部分をより正確に述べると，以下のようになります．文字列 $s(a)$ の $i$ 番目の文字を $s(a)[i]$ と書くことにします．いま，$s(a)$ の長さが $\ell$ であり，$s(b)$ の長さが $m$ であるとき，ある$i\in\{1,2,\cdots,\min\{\ell,m\}\}$ が存在して，任意の $j\in\{1,2,\cdots,i\}$ に対して $s(a)[\ell-i+j] = s (b)[j]$ が成り立つことを「$s(a)$ の後側と $s(b)$ の前側が重なりを持つ」ことと定義します．

余力がある場合は，$|A|$ の要素数が $n$ であるとき，上のような各文字列の長さを $2^n$ 以下にできることも証明してください．使用する文字種(アルファベット)は有限であれば何でも構いません．

例えば，$A=\{a,a’\},\,B=\{b,b’\}$ で，$X=\{(a,b),(a,b’),(a’,b’)\}$ であるときは，$s(a)=\mathsf{st},\,s(a’)=\mathsf{str},\,s(b)=\mathsf{t},\,s(b’)=\mathsf{str}$ とすればよいです．

出題：岡本吉央