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出題（2020年3月号掲載分）／応募締切（3月8日）／解答（2020年6月号掲載）

エレガントな解答をもとむ(数学セミナー)｜ 2020.02.10

『数学セミナー』のコーナー「エレガントな解答をもとむ」の出題を掲載します．奮ってご応募ください．解答・講評(3ヶ月後)は，本誌にてご確認ください．

(毎月10日頃の掲載予定)

$\def\t#1{\text{#1}}\def\R{\mathbb{R}}\def\N{\mathbb{N}}$

出題1

$\begin{align*} k=\sqrt[3]{\sin\dfrac\pi{14}} -\sqrt[3]{\sin\dfrac{3\pi}{14}}+\sqrt[3]{\sin\dfrac{5\pi}{14}} \end{align*}$ とする．このとき， $k$ の値(三角比を用いない表示)を求めよ．

余裕のある方は， $k^3$ の最小多項式( $k^3$ を根にもつ整数係数の多項式で次数が最小のもの)を求めてみてください．

出題：佐久間一浩

出題2

正の整数 $N$ に対し， $1$ から $N$ までの整数の集合を $[N]$ と書くことにします．本問題では， $N=7$ のときを考えます．正の整数 $n$ に対し $[7]$ の元 $n$ 成分からなる組たち全体のなす集合を $[7]^n$ と書くことにします．つまり， $x\in[7]^n$ は $x=(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ , $x_1,\cdots,x_n$ は $[7]:=\{1,2,\cdots,7\}$ の元，の形です． $A\subseteqq[7]^n$ に対し， $(x,y,z,w)$ が $A$ 上の重心三角形であるとは， $x,\,y,\,z,\,w$ が $A$ の相異なる元であって， $x+y+z=3w$ を満たすことを言います．ここで， $x+y+z$ は成分ごとの和， $3w$ は各成分を $3$ 倍した組のことです．(和や $3$ 倍は整数の間の演算と思います．)　例えば， $x=(1,5, 1, 5),\, y=(2, 3, 2, 5),\,z = (3, 1, 6, 5),\, w = (2, 3, 3, 5)$ とおくと， $(x, y, z, w)$ は $[7]^4$ 上の重心三角形となります．( $x,\,y,\, z,\, w$ をユークリッド空間 $\mathbb{R}^n$ 上の $4$ 点だと思ったとき，三角形 $xyz$ の重心が $w$ となっているのが「重心三角形」の由来です．ただし，上述の定義からわかるように， $x,\, y,\,z,\,w$ の 4 点が異なっている限り， $x,\,y,\,z$ が同一直線上にあってもよいとします．)　 $A$ 上の重心三角形が存在しないとき， $A\subseteqq[7]^n$ は「重三-freeである」ということにしましょう．

$[7]^n$ 自体の元の個数 $\sharp([7]^n)$ は $7^n$ ですが，上記の例のように $[7]^n$ 自体は重三-freeではありません． $[7]^n$ の部分集合 $\{1,3\}^n$ は重三-freeなので(証明してみましょう)， $[7]^n$ の重三-freeな部分集合 $A$ で，その元の個数 $\sharp A$ が $\sharp A\geqq 2^n$ を満たすものは存在します．

(1)どんな正の整数 $n$ に対しても， $[7]^n$ の重三-freeな部分集合 $A$ で $\sharp A\geqq 3^n$ を満たすものは存在します．このことを示してください．

(2) $n$ をどんどん大きくしていくとき， $[7]^n$ の重三-freeな部分集合 $A$ の元の個数 $\sharp A$ はどれくらい大きくなれるでしょうか？

より具体的には，次を考えてください：「正の実数 $c$ を固定して，各 $n$ に対し，『重三-freeな $A\subseteqq[7]^n$ で， $\sharp A\geqq c^n$ を満たすものは存在するか？』を問います．この問いの答えが十分大きい $n$ 以降では常に YES となるような $c$ の範囲はどうなっているでしょうか？」

興味がある方はさらに， $[7]^n$ の代わりに大きい正の整数 $N$ を一つ決めて， $[N]^n$ に対し，同様の問題を考えてください．また，(1)のみの応募も歓迎します．

出題：見村万佐人