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出題（2020年7月号掲載分）／応募締切（7月8日）／解答（2020年10月号掲載）

エレガントな解答をもとむ(数学セミナー)｜ 2020.06.09

『数学セミナー』のコーナー「エレガントな解答をもとむ」の出題を掲載します．奮ってご応募ください．解答・講評(3ヶ月後)は，本誌にてご確認ください．

(毎月10日頃の掲載予定)

$\def\t#1{\text{#1}}\def\R{\mathbb{R}}\def\N{\mathbb{N}}$

出題1

集合 $\varLambda=\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ の三つの要素を各行に並べた次の表
$\begin{align*} &1,\, 2,\, 4\\ &2,\, 3,\, 5\\ &3,\, 4,\, 6\\ &4,\, 5,\, 7\\ &5,\, 6,\, 1\\ &6,\, 7,\, 2\\ &7,\, 1,\, 3 \end{align*}$ は，「 $\varLambda$ の任意の異なる二つの要素 $i,\,j$ に対して， $i$ と $j$ を両方含む行がただ一つ存在する」という性質を持ちます．

問題　(1) $n$ を $5$ より大きい自然数とします．集合 $\varOmega=\{1,2,\cdots,3n\}$ の $n$ 個の要素を各行に並べた表
$\begin{align*} &B_1\\ &B_2\\ &\ \vdots\\ &B_{r(n)} \end{align*}$ が下記の条件( $\bigstar$ )を満たすとします．

$\varOmega$ の任意の異なる五つの要素に対して，それらすべてを含む行がただ一つ存在する．( $\bigstar$ )

このとき $n$ は二つの値に限定されます．これらの $n$ の値と各 $n$ に対する表の行数 $r(n)$ を求めてください．

(2)　(1)で求めた二つの $n$ の値の大きい方について，( $\bigstar$ )を満たす上記の表の一つの行 $B$ を固定して考えます． $i=0,1,\cdots, n$ なる各 $i$ に対して， $|B\cap P|=i$ を満たす行 $P$ の総数 $m(i)$ を求めてください( $|B\cap P|$ は行 $B$ と $P$ の両方に含まれる要素の個数です)．

出題：中川暢夫

出題2

平面上で，互いに素な自然数を座標にもつ点の集合
$\begin{align*} C=\{(a,b)\in\mathbb N\times\mathbb N\,|\,\text{gcd}(a,b)=1\} \end{align*}$ を考えます．縦横斜めで接している(すなわち $x$ 座標 $y$ 座標とも差が $1$ 以下の) $C$ の点を辿って行けるという連結関係で， $C$ を連結成分に分けます．点 $(1,1)$ を含む連結成分を大陸と呼び，そうでない連結成分を島と呼び，島に含まれる点の個数を島の面積ということにします．下図に面積 $1,\, 3,\, 20$ の島の例を示します．