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出題（2020年9月号掲載分）／応募締切（9月8日）／解答（2020年12月号掲載）

エレガントな解答をもとむ(数学セミナー)｜ 2020.08.10

『数学セミナー』のコーナー「エレガントな解答をもとむ」の出題を掲載します．奮ってご応募ください．解答・講評(3ヶ月後)は，本誌にてご確認ください．

(毎月10日頃の掲載予定)

$\def\t#1{\text{#1}}$

出題1

$\begin{align*} a=7\sqrt{11}+8(7\sqrt{11}+3\sqrt{3})^{\frac 13} +8(7\sqrt{11}-3\sqrt 3)^{\frac 13} \end{align*}$ とします．近似的には
$\begin{align*} 68.60158545708098436\cdots \end{align*}$ という値です．次に
$\begin{align*} b= \sqrt{ 48(35099+21\sqrt{33})^{\frac 13} +48(35099−21\sqrt{33})^{\frac 13} +1563} \end{align*}$ こちらの近似値は
$\begin{align*} 68.60158545708098436\cdots \end{align*}$ です． $a$ と $b$ は等しいでしょうか，それとも等しくないでしょうか．等しければ等しいことを，等しくなければ等しくないことを示してください．

出題：渋川元樹

出題2

電卓をたたいてみるとすぐに分かりますが， $\sqrt{28} + \sqrt{45}$ の値は整数 $12$ に近い値になります．同じような性質をもった正の整数の対ついは，意外に多く存在します．

(1) $A = \sqrt{110890} + \sqrt{443554}$ , $B = \sqrt{110888} +\sqrt{443558}$ とおくと， $A,\, B$ はともに $999$ に非常に近い値になります．不等式 $999 > A > B$ が成り立つことを，なるべくエレガントな方法で示してください．

(2)正の整数 $m$ をうまく選べば， $\sqrt{2} +\sqrt{m}$ の値はいくらでも整数値に近づけられることを示してください．（例えば $\sqrt 2 +\sqrt{21} \risingdotseq 6$ , $\sqrt{2} +\sqrt{761}\risingdotseq 29$ , $\sqrt{2} + \sqrt{4704}\risingdotseq 70$ ですが，後者になるほど，よりよい整数の近似値になっています．）

(3) $n\risingdotseq \sqrt{a} +\sqrt{b}$ ( $n,\,a,\,b$ は正の整数) となるような例を無限に多く構成してください．

問題文の表現にあいまいなところがありますが，常識的に判断してください．また（3）において， $\sqrt{4} + \sqrt{9} = 5$ や $\sqrt{n^2−1} +\sqrt{n^2+1}\risingdotseq 2n$ のように完全平方数を利用した “自明な” 例は除外して考えてください．

できるだけ近似精度の高い例の構成を期待しています．3 題のうち，1 題ないし 2 題のみの応募でもかまいません．

出題：阿賀岡芳夫