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出題（2021年3月号掲載分）／応募締切（3月8日）／解答（2021年6月号掲載）

エレガントな解答をもとむ(数学セミナー)｜ 2021.02.09

『数学セミナー』のコーナー「エレガントな解答をもとむ」の出題を掲載します．奮ってご応募ください．解答・講評(3ヶ月後)は，本誌にてご確認ください．

(毎月10日頃の掲載予定)

$\def\t#1{\text{#1}}\def\dfrac#1#2{\displaystyle\frac{#1}{#2}}$

出題1

左は，1 辺の長さが 1 の立方体の，お互いに隣り合わない 3 頂点と，それらを含まない 3 辺の中点を頂点とする八面体です．右は，1 辺の長さが 1 の立方体の，相対する 2 頂点と，それらを含まない 6 辺の中点を頂点とする十二面体です．

(1) 左の八面体が，互いに直交する 3 直線の交点の両側で，交点から 1 と $\dfrac 12$ の点を頂点とする八面体と合同であることを示してください．

(2) 1 辺の長さが 2 の立方体に，左の八面体 6 個と右の十二面体 3 個を入れる方法を考えてください．全部で 8 個なら自明ですが， 9 個あります．どうやったら入るのでしょうか．

出題：立木秀樹

出題2

有名な無限級数に関する式の，カラビによる超短証明として知られた次の等式
$\begin{align*} \sum^\infty_{n=1}\frac 1{(2n-1)^2} =\int^1_0\int^1_0\frac 1{1-x^2y^2}\,dxdy =\frac{\pi^2}8 \end{align*}$ は，上記の二重積分を次のように巧みな変数変換
$\begin{align*} x=\frac{\sin\alpha}{\cos\beta},\quad y=\frac{\sin\beta}{\cos\alpha} \end{align*}$ することにより，二辺が $\dfrac\pi2$ の直角二等辺三角形の面積を計算して示せます．そこで，この超短証明を参考にして，その三次元版を考察していただきます．

(1)
$\begin{align*} \sum^\infty_{n=1}\frac{(-1)^{n-1}}{(2n-1)^3} =\int^1_0\int^1_0\int^1_0 \frac 1{1+x^2y^2z^2}\,dxdydz =\frac{\pi^3}{32} \end{align*}$ が成り立つことを，ある空間の領域 (多面体) $D_1$ の体積を計算することによって示してください．

(2)無限級数
$\begin{align*} \varphi(3)=\sum^\infty_{n=1}\frac 1{(2n-1)^3} =\int^1_0\int^1_0\int^1_0 \frac 1{1-x^2y^2z^2}\,dxdydz \end{align*}$ の値がある空間の領域 $D_2$ の体積に一致するように， $D_2$ の定義式を求めてください．ちなみに， $\varphi(3)$ の正確な値は未だ決定されていません．