出題（2021年8月号掲載分）／応募締切（8月8日）／解答（2021年11月号掲載）
出題1
四面体の外部の空間は，四面体の各面の決定する平面によって，14 個の凸領域に分割される．四面体の各頂点を尖端とする三面体 4 個と，各辺を棟とする屋根型 6 個，それに各面の外側の錐台 4 個である．
四面体の各面の決定する平面すべてに接する球面を，四面体の接球面という．接球面の中で，四面体に含まれるものを内接球面，各錐台に含まれるものを傍接球面という．どんな四面体も内接球面と 4 つの傍接球面をもつ．四面体の接球面で三面体に含まれるものは存在しない．四面体によっては，屋根型に含まれる接球面 (ルーフ球面と呼ぶ) をもつものがある．例えば，4 点 $(0,0,0),\, (1,0,0),\, (0,1,0),\,(0,0,1)$ を頂点とする四面体の場合，半径 $r=\dfrac{\sqrt3+1}2$，中心が $(-r, -r, r)$ の球面はこの四面体のルーフ球面である．
(i)四面体 $\t{ABCD}$ の辺 $\t{AB}$ を棟とする屋根型が接球面を含むなら，辺 $\t{CD}$ を棟とする屋根型は接球面を含まないことを示せ．(したがって，1 つの四面体のもちうるルーフ球面の個数は 3 個以下である．)
(ii) $k = 0,\, 1,\, 2,\, 3$ について，ちょうど $k$ 個のルーフ球面をもつ四面体の例を挙げよ．
出題：前原 濶
出題2
裕福な数学愛好家の A 氏が，お互いを知らない数学愛好家 2 人を招きました．2 人をお互いが見えないようにカーテンを下げた部屋に入れて着席させ，A 氏は 2 人が見える位置に座りました．そして，いきなり賞金 50 万円がついたパズルを出したのです．
A 氏「外見が同じ 2 つの封筒それぞれに，2 つの整数 $x,\, y\ (3 \leqq x ＜ y )$ の積 $p$ と和 $s$ を書いて封印しました．積なのか和なのかは明記されています．$p$ の封筒と $s$ の封筒を無作為にお二人の机に置きます．合図したら，自分の前の封筒を開けてください．先に $x,\,y$ を大きな声で言い当てた方に賞金を差し上げます．ただし，解答までにかかった時間 1 分につき 5 万円ずつ賞金を減らします．解答が違ったり，正当な根拠が示せないと，解答時点での賞金の半額が相手に渡ります．机の上の紙と鉛筆は自由にお使いください．この問題はどちらの方にも解けます．」
合図のあと，2 人は高額賞金を狙って真剣に考え始めました．$p$ の封筒を開けた人を P 氏，$s$ の封筒を開けた人を S 氏と呼びましょう．両者無言のままの 3 分を過ぎてから，S 氏が突然 $x,\,y$ を言い当てました．A 氏はその根拠を確認したあと，賞金 35 万円を S 氏に渡しました．
$x,\,y$ を求めてください．
出題：竹内郁雄
応募規定［解答掲載2021年11月号］
郵送の場合
B5判の用紙をご使用のうえ，解答用紙 l 枚ごとにA：出題の番号(例：8月号出題1)，B：住所，氏名(ふりがなも明記，誌上での仮名を希望される方は，こちらに明記)，年齢，職業を記入して，下記宛先までお送りください．
〒170-8474 東京都豊島区南大塚3-12-4
日本評論社 数学セミナー〈エレガントな解答をもとむ〉係
メール送信の場合
B5判のサイズで，解答用紙l枚ごとにA：出題の番号(例：8月号出題1)，B：住所，氏名(ふりがなも明記，誌上での仮名を希望される方は，こちらに明記)，年齢，職業を記入して，下記フォームから PDF ファイルを送信して下さい (ファイルサイズ10MBまで)．
解答記載に LaTeX ご利用の方は，テンプレートもご活用下さい．テンプレート利用は任意です．またテンプレートの漢字コードはUTF8です．ファイルが文字化けするときは適宜変換してお使いください．
投稿フォームが上手く動かないなどの場合は，susemi_elegant@nippyo.co.jp に直接お送り下さい．
注意事項
- 締切：2021年8月8日
- 二題に応募されるときは，郵送の場合は解答用紙を，メール送信の場合はファイルを，出題ごとにかえてください．
- 年齢を忘れずにお書きください．
- 解答用紙は両面の使用を不可とします．
- 解答用紙はご返却できません．
- 問題のご感想も歓迎します．
- 出題掲載号：数学セミナー2021年8月号
- 解答・講評は，本誌2021年11月号にてご確認ください．