出題（2021年11月号掲載分）／応募締切（11月8日）／解答（2022年2月号掲載）
出題1
4 つの頂点位置だけで決まり，最も単純な多面体といえる四面体ですが，その見かけによらずなかなか奥が深い図形です．以下では四面体 T=ABCD の形をさまざまに変化させた際の “最適化問題” を考えます．
(1) T が半径 1 の球に外接するとき，T の外接球の半径 R の最小値を求めてください．
(2) 対辺の積 AB⋅CD,AC⋅BD,AD⋅BC を 3 辺の長さとする三角形 S が存在することを示してください．また，T の体積が 1/3 であるとき，S の面積の最小値を求めてください．
(1) で「T が半径 1 の球に外接する」というのは，T の内接球の半径が 1 であるという意味です．球・四面体・球をマトリョーシカのように入れ子にしたものを，なるべく “薄く” 作りたいという問題になります．両問題ともさまざまな方針が考えられますので，関連した解法に限ることなく，独立に取り組んでもらえればと思います．
出題：鍛冶静雄
出題2
r,θ を 0<r<1,0<θ<π を満たす定数とします．xy 平面に 2 点 P0=(0,0),P1=(1,0) をとり，xy 平面内の折れ線 ¯P0P1P2¯⋯Pn⋯ で次の条件を満たすものを考えます．
- n=1,2,3,⋯ に対して，PnPn+1=rn であり，2 つのベクトル →Pn−1Pn と →PnPn+1 のなす角が θ または −θ である．
このような折れ線の集合 Ω:={¯P0P1P2¯⋯Pn⋯} は，角度に 2 通りの選び方があるので，無限集合です．
Ω の要素であるどの 2 つの折れ線も交差しないとき，r と θ の間に成り立つ関係式を求めてください．
ただし，「折れ線 L1 と L2 が交差する」とは，L1 を構成する一つの線分 ¯PnPn+1 と L2 を構成する一つの線分 ¯P′mP′m+1 であって，次の条件を満たすものが存在することとします．
(1) 2 つの線分は 1 点のみを共有する．
(2) その共有点は，一方の線分の端点ではないか，あるいは Pn+1=P′m+1 である．
出題：時弘哲治
応募規定［解答掲載2022年2月号］
郵送の場合
B5判の用紙をご使用のうえ，解答用紙 l 枚ごとにA：出題の番号(例：11月号出題1)，B：住所，氏名(ふりがなも明記，誌上での仮名を希望される方は，こちらに明記)，年齢，職業を記入して，下記宛先までお送りください．
〒170-8474 東京都豊島区南大塚3-12-4
日本評論社 数学セミナー〈エレガントな解答をもとむ〉係
メール送信の場合
B5判のサイズで，解答用紙l枚ごとにA：出題の番号(例：11月号出題1)，B：住所，氏名(ふりがなも明記，誌上での仮名を希望される方は，こちらに明記)，年齢，職業を記入して，下記フォームから PDF ファイルを送信して下さい (ファイルサイズ10MBまで)．
解答記載に LaTeX ご利用の方は，テンプレートもご活用下さい．テンプレート利用は任意です．またテンプレートの漢字コードはUTF8です．ファイルが文字化けするときは適宜変換してお使いください．
投稿フォームが上手く動かないなどの場合は，susemi_elegant@nippyo.co.jp に直接お送り下さい．
注意事項
- 締切：2021年11月8日
- 二題に応募されるときは，郵送の場合は解答用紙を，メール送信の場合はファイルを，出題ごとにかえてください．
- 年齢を忘れずにお書きください．
- 解答用紙は両面の使用を不可とします．
- 解答用紙はご返却できません．
- 問題のご感想も歓迎します．
- 出題掲載号：数学セミナー2021年11月号
- 解答・講評は，本誌2022年2月号にてご確認ください．