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出題（2021年11月号掲載分）／応募締切（11月8日）／解答（2022年2月号掲載）

エレガントな解答をもとむ(数学セミナー)｜ 2021.10.11

『数学セミナー』のコーナー「エレガントな解答をもとむ」の出題を掲載します．奮ってご応募ください．解答・講評(3ヶ月後)は，本誌にてご確認ください．

(毎月10日頃の掲載予定)

$\def\t#1{\text{#1}}\def\dfrac#1#2{\displaystyle\frac{#1}{#2}}$

出題1

4 つの頂点位置だけで決まり，最も単純な多面体といえる四面体ですが，その見かけによらずなかなか奥が深い図形です．以下では四面体 $T = \t{ABCD}$ の形をさまざまに変化させた際の “最適化問題” を考えます．

(1) $T$ が半径 1 の球に外接するとき， $T$ の外接球の半径 $R$ の最小値を求めてください．

(2) 対辺の積 $\t{AB}\cdot\t{CD},\,\t{AC}\cdot\t{BD},\,\t{AD}\cdot\t{BC}$ を 3 辺の長さとする三角形 $S$ が存在することを示してください．また， $T$ の体積が $1/3$ であるとき， $S$ の面積の最小値を求めてください．

(1) で「 $T$ が半径 1 の球に外接する」というのは， $T$ の内接球の半径が 1 であるという意味です．球・四面体・球をマトリョーシカのように入れ子にしたものを，なるべく “薄く” 作りたいという問題になります．両問題ともさまざまな方針が考えられますので，関連した解法に限ることなく，独立に取り組んでもらえればと思います．

出題：鍛冶静雄

出題2

$r,\,\theta$ を $0 < r < 1,\, 0<\theta < \pi$ を満たす定数とします． $xy$ 平面に 2 点 $\t{P}_0= (0, 0),\,\t{P}_1 = (1, 0)$ をとり， $xy$ 平面内の折れ線 $\overline{\t{P}_0\t{P}_1\t{P}_2}\overline{\cdots\t {P}_n\cdots}$ で次の条件を満たすものを考えます．

$n = 1, 2, 3, \cdots$ に対して， $\t P_n\t P_{n+1}=r^n$ であり，2 つのベクトル $\overrightarrow{\t{P}_{n-1}\t{P}_n}$ と $\overrightarrow{\t{P}_n\t{P}_{n+1}}$ のなす角が $\theta$ または $-\theta$ である．

このような折れ線の集合 $\varOmega:=\{\overline{\t P_0\t P_1\t P_2}\overline{\cdots\t P_n\cdots}\}$ は，角度に 2 通りの選び方があるので，無限集合です．

$\varOmega$ の要素であるどの 2 つの折れ線も交差しないとき， $r$ と $\theta$ の間に成り立つ関係式を求めてください．

ただし，「折れ線 $L_1$ と $L_2$ が交差する」とは， $L_1$ を構成する一つの線分 $\overline{\t P_n\t P_{n+1}}$ と $L_2$ を構成する一つの線分 $\overline{\t P’_m\t P’_{m+1}}$ であって，次の条件を満たすものが存在することとします．

(1) 2 つの線分は 1 点のみを共有する．

(2) その共有点は，一方の線分の端点ではないか，あるいは $\t P_{n+1}=\t P’_{m+1}$ である．