出題（2022年5月号掲載分）／応募締切（5月8日）／解答（2022年8月号掲載）
出題1
正の整数全体の集合を $\mathbb{N}$ と書く．全単射 $f:\mathbb{N}\longrightarrow\mathbb{N}$ であって，任意の正の整数 $n$ に対して
\begin{align*}
|f(n+1)-f(n)| \in \{6,10,15\}
\end{align*}を満たすものは存在するか．
出題：斎藤新悟
出題2
多項式
\begin{align*}
& z^4+z^3+z^2+z+1,\\
& z^6+z^5+z^4+z^3+z^2+z+1
\end{align*}は有理数の範囲ではこれ以上は因数分解できません．しかし，2 次の無理数まで認めると
\begin{align*}
& z^4+z^3+z^2+z+1\\
&= \left(
z^2+\frac{1+\sqrt5}2z+1
\right)\left(
z^2+\frac{1-\sqrt5}2z+1
\right),\\[5pt]
& z^6+z^5+z^4+z^3+z^2+z+1\\[5pt]
&=\left(
z^3+\frac{1+\sqrt{-7}}2z^2+\frac{-1+\sqrt{-7}}2z-1
\right)\\[5pt]
&\phantom{=}\times\left(
z^3+\frac{1-\sqrt{-7}}2z^2+\frac{-1-\sqrt{-7}}2z-1
\right)
\end{align*}のように因数分解をすることができます．では，次の 16 次多項式
\begin{align*}
&z^{16}+z^{15}+z^{14}+z^{13}+z^{12}+z^{11}+z^{10}+z^{9}\\
&\phantom{=}+z^{8}+z^{7}+z^{6}+z^{5}+z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1
\end{align*}を $\sqrt{17}$ を用いて，それぞれ最高次の係数が 1 の，2 つの 8 次多項式の積に分解してください (その 2 つの 8 次多項式を具体的に求めてください)．
出題：渋川元樹
応募規定［解答掲載2022年8月号］
郵送の場合
B5判の用紙をご使用のうえ，解答用紙 1 枚ごとにA：出題の番号(例：5月号出題1)，B：住所，氏名(ふりがなも明記，誌上での仮名を希望される方は，こちらに明記)，年齢，職業を記入して，下記宛先までお送りください．
〒170-8474 東京都豊島区南大塚3-12-4
日本評論社 数学セミナー〈エレガントな解答をもとむ〉係
メール送信の場合
B5判のサイズで，解答用紙l枚ごとにA：出題の番号(例：5月号出題1)，B：住所，氏名(ふりがなも明記，誌上での仮名を希望される方は，こちらに明記)，年齢，職業を記入して，下記フォームから PDF ファイルを送信して下さい (ファイルサイズ10MBまで)．
解答記載に LaTeX ご利用の方は，テンプレートもご活用下さい．テンプレート利用は任意です．またテンプレートの漢字コードはUTF8です．ファイルが文字化けするときは適宜変換してお使いください．
投稿フォームが上手く動かないなどの場合は，susemi_elegant@nippyo.co.jp に直接お送り下さい．
注意事項
- 締切：2022年5月8日
- 二題に応募されるときは，郵送の場合は解答用紙を，メール送信の場合はファイルを，出題ごとにかえてください．
- 年齢を忘れずにお書きください．
- 解答用紙は両面の使用を不可とします．
- 解答用紙はご返却できません．
- 問題のご感想も歓迎します．
- 出題掲載号：数学セミナー2022年5月号
- 解答・講評は，本誌2022年8月号にてご確認ください．