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出題（2022年6月号掲載分）／応募締切（6月8日）／解答（2022年9月号掲載）

エレガントな解答をもとむ(数学セミナー)｜ 2022.05.10

『数学セミナー』のコーナー「エレガントな解答をもとむ」の出題を掲載します．奮ってご応募ください．解答・講評(3ヶ月後)は，本誌にてご確認ください．

(毎月10日頃の掲載予定)

$\def\t#1{\text{#1}}\def\dfrac#1#2{\displaystyle\frac{#1}{#2}}$

出題1

$n$ を正の整数として，以下で定まる列 $(a_1,a_2,\cdots,a_n)$ を考えます．
\begin{align*}
&a_1=2^n-1,\\[5pt]
&a_k=\Bigl((1+\sqrt{k})^n-1\Bigr)\cdot\left(1+\sum^{k-1}_{i=1}a_i\right)\quad (2\leqq k\leqq n)
\end{align*}この列の最後の項 $a_n$ について，「良い」上からの評価 (つまり，$a_n\leqq b_n$ を満たす $b_n$) を見つけてください．また，その「良さ」の説明も添えてください．「良さ」の基準としては，例えば

精度が良い ($b_n$ の値が $a_n$ に近い)
表示が簡潔である
証明が簡単である

などが考えられますが，上記以外の基準でも構いません．何を「良さ」として主張するかの選択も解答の一部と考えてください．

出題：縫田光司

出題2

$p$ を奇素数とします．

(1) 合同不定方程式 $x^2+y^2\equiv 1\ (\text{mod}\,p)$ の $x\not\equiv 0\ (\text{mod}\,p)$, $y\not\equiv 0\ (\text{mod}\,p)$, $x^2\not\equiv y^2\ (\text{mod}\,p)$ となる解で互いに非同値である解の総数を求めてください．ここで，$x\equiv a\ (\text{mod}\,p)$, $y\equiv b\ (\text{mod}\,p)$ なる解に対し $(x,y)\equiv (\pm a,\pm b)\ (\text{mod}\,p)$ および $(x,y)\equiv(\pm b,\pm a)\ (\text{mod}\,p)$ なる 8 つの解を解 $(a,b)$ と同値な解といいます．

(2) $\boldsymbol{F}_p=\{0,1,\cdots,p-1\}$ とします．$p$ を法としてある整数の平方数に合同な数を $p$ を法とする平方数といいます．$0$ と合同な整数は平方数としません．$p$ を法として整数 $a$ が $2$ つの異なる平方数 $x^2,\,y^2$ の差 $x^2-y^2$ に合同になるような $x^2$ と $y^2\ (x^2,\,y^2\in\boldsymbol{F}_p)$ の対 $(x^2,y^2)$ の総数を $N(a)$ で表します．$\boldsymbol{F}_p\setminus\{0\}$ に属するすべての整数 $a$ に対し $N(a)$ の値を求めてください．

例えば $p=7$ のとき，平方数は $1,\, 4,\, 2$ の $3$ つで，平方数の差の値は $7$ を法として $2-1 \equiv 1$, $4-2 \equiv 2$, $4-1 \equiv 3$, $1-4 \equiv 4$, $2-4 \equiv 5$, $1-2 \equiv 6$ となり，任意の整数 $a\ (a\in\boldsymbol{F}_7\setminus\{0\})$ に対して $N(a)=1$ です．

次に $1$ の $p$ 乗根で $1$ でないものの $1$ つを $\zeta\ (\zeta\not=1,\,\zeta^p=1)$ とします．さらに $\alpha=\sum\limits^{p-1}_{i=0}\zeta^{i^2}$ とおくとき，複素数 $\alpha$ の絶対値は $\sqrt p$ であることを示してください．

出題：中川暢夫