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出題（2022年11月号掲載分）／応募締切（11月8日）／解答（2023年2月号掲載）

エレガントな解答をもとむ(数学セミナー)｜ 2022.10.11

『数学セミナー』のコーナー「エレガントな解答をもとむ」の出題を掲載します．奮ってご応募ください．解答・講評(3ヶ月後)は，本誌にてご確認ください．

(毎月10日頃の掲載予定)

$\def\t#1{\text{#1}}\def\dfrac#1#2{\displaystyle\frac{#1}{#2}}\def\SS{\mathbb S}$

出題1

正の整数 $a$ に対して，$\varphi(a)$ を $1$ 以上 $a$ 以下の整数のうち $a$ と互いに素なものの個数と定める．任意の正の整数 $n,\, m$ と整数 $x$ に対して
\begin{align*}
\sum_{d|n} \sum_{e|m} \varphi(d)\varphi(e) x^{nm/ \mathrm{lcm}(d, e)}
\end{align*}は $nm$ で割り切れることを示せ．

ここで，$\textstyle\sum\limits_{d|n}$ は $d$ を $n$ の約数全体に動かして和を取ることを表し，$\mathrm{lcm}(d,e)$ は $d$ と $e$ の最小公倍数を表す．

出題：北川宜稔

出題2

$m$ を $2$ 以上の正の整数とし，次の条件を満たすカードの組を考えます．

(a)各カードには，相異なる $m$ 個の数字が書かれている．

(b)任意の $2$ 枚のカードには，共通の数字がただ一つだけある．

(c)カードに書かれている任意の二つの数字に対して，それぞれの数字を含むカードの枚数は等しい．

たとえば，$m=2$ ならば，$3$ 枚のカードにそれぞれ $\{1,2\}$, $\{2,3\}$, $\{1,3\}$ と書かれたものが，$m=3$ ならば，$4$ 枚のカードにそれぞれ $\{1,2,3\}$, $\{1,4,5\}$, $\{3,5,6\}$, $\{2,4,6\}$ と書かれたものなどが，これらの条件を満足しています．

(1) 上の条件を満たす一組のカードの枚数を $N$ とするとき，$N \leqq m^2-m+1$ であることを示してください．

(2) $m=3$, $4$ のときに，上の条件を満たすカードの組のうち，できるだけ枚数の多いものを作ってください．

(3) $m=5$, $6$ のときに，上の条件を満たすカードの組のうち，できるだけ枚数の多いものを作ってください．

出題：時弘哲治