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 『数学セミナー』のコーナー「エレガントな解答をもとむ」の出題を掲載します．奮ってご応募ください．解答・講評(3ヶ月後)は，本誌にてご確認ください．

(毎月10日頃の掲載予定)

出題1

正の整数 $a$ に対して，$\varphi(a)$ を $1$ 以上 $a$ 以下の整数のうち $a$ と互いに素なものの個数と定める．任意の正の整数 $n,\, m$ と整数 $x$ に対して
$$\begin{align*} \sum_{d|n} \sum_{e|m} \varphi(d)\varphi(e) x^{nm/ \mathrm{lcm}(d, e)} \end{align*}$$ は $nm$ で割り切れることを示せ．

ここで，$\textstyle\sum\limits_{d|n}$ は $d$ を $n$ の約数全体に動かして和を取ることを表し，$\mathrm{lcm}(d,e)$ は $d$ と $e$ の最小公倍数を表す．

出題：北川宜稔

出題2

$m$ を $2$ 以上の正の整数とし，次の条件を満たすカードの組を考えます．

(a)各カードには，相異なる $m$ 個の数字が書かれている．

(b)任意の $2$ 枚のカードには，共通の数字がただ一つだけある．

(c)カードに書かれている任意の二つの数字に対して，それぞれの数字を含むカードの枚数は等しい．

たとえば，$m=2$ ならば，$3$ 枚のカードにそれぞれ $\{1,2\}$, $\{2,3\}$, $\{1,3\}$ と書かれたものが，$m=3$ ならば，$4$ 枚のカードにそれぞれ $\{1,2,3\}$, $\{1,4,5\}$, $\{3,5,6\}$, $\{2,4,6\}$ と書かれたものなどが，これらの条件を満足しています．

(1) 上の条件を満たす一組のカードの枚数を $N$ とするとき，$N \leqq m^2-m+1$ であることを示してください．

(2) $m=3$, $4$ のときに，上の条件を満たすカードの組のうち，できるだけ枚数の多いものを作ってください．

(3) $m=5$, $6$ のときに，上の条件を満たすカードの組のうち，できるだけ枚数の多いものを作ってください．

出題：時弘哲治

応募規定［解答掲載2023年2月号］

郵送の場合

B5判の用紙をご使用のうえ，解答用紙 1 枚ごとにA：出題の番号(例：11月号出題1)，B：住所，氏名(ふりがなも明記，誌上での仮名を希望される方は，こちらに明記)，年齢，職業を記入して，下記宛先までお送りください．

〒170-8474　東京都豊島区南大塚3-12-4
日本評論社　数学セミナー〈エレガントな解答をもとむ〉係

メール送信の場合

B5判のサイズで，解答用紙 1 枚ごとにA：出題の番号(例：11月号出題1)，B：住所，氏名(ふりがなも明記，誌上での仮名を希望される方は，こちらに明記)，年齢，職業を記入して，下記フォームから PDF ファイルを送信して下さい (ファイルサイズ10MBまで)．

解答記載に LaTeX ご利用の方は，テンプレートもご活用下さい．テンプレート利用は任意です．またテンプレートの漢字コードはUTF8です．ファイルが文字化けするときは適宜変換してお使いください．

投稿フォームが上手く動かないなどの場合は，susemi_elegant@nippyo.co.jp に直接お送り下さい．

注意事項

• 締切：2022年11月8日
• 二題に応募されるときは，郵送の場合は解答用紙を，メール送信の場合はファイルを，出題ごとにかえてください．
• 年齢を忘れずにお書きください．
• 解答用紙は両面の使用を不可とします．
• 解答用紙はご返却できません．
• 問題のご感想も歓迎します．
• 出題掲載号：数学セミナー2022年11月号
• 解答・講評は，本誌2023年2月号にてご確認ください．

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