出題（2022年12月号掲載分）／応募締切（12月8日）／解答（2023年3月号掲載）
出題1
正 3 角形の中に直角 2 等辺 3 角形を収めるとき，下図左のようにすると面積が占める割合は最大になり，その値は 1√3 です．反対に，直角 2 等辺 3 角形の中に正 3 角形を収めるとき，下図右のようにすると最大になり，その値も同じく 1√3 です．
これは偶然の一致でしょうか．そこで，次の問題を取り上げてみます．
互いに相似でない任意の 3 角形 ABC と 3 角形 DEF を考えます．そして，3 角形 ABC の相似形のうち，3 角形 DEF に収まる最大の 3 角形を A′B′C′ とし，3 角形 DEF の相似形のうち，3 角形 ABC に収まる最大の 3 角形を D′E′F′ とするとします．このとき，次の等式はつねに成り立つでしょうか．
3 角形 A′B′C′の面積3 角形 DEF の面積=3 角形 D′E′F′ の面積3 角形 ABC の面積
もしつねに成り立つとしたら，そのことを証明してください．成り立たないとしたら，反例を見つけ，それが反例であることを証明してください．
等式が成立する必要条件や十分条件がわかったなど，本問の一部のみが解けた場合の答案提出も歓迎です．
出題：岩沢宏和
出題2
集合 Ω={ε,0,1,00,⋯} を，0 と 1 からなる有限文字列の全体とします．ε は長さ 0 の文字列です．
有限文字列 w と w′ を連結した文字列を ww′ と書きます．また部分集合 A,B⫅ について，連結 A\cdot B を A\cdot B=\{ww’\mid w\in A,\, w’\in B\} とします．
正規表現は，以下のように再帰的に定義されます．
- \Z と \I は正規表現である．
- r と s が正規表現のとき，和 r+s，積 r\cdot s，スター r^{\ast} と補 r^{\co} も正規表現である．
正規表現 r には，(r にマッチする言語と呼ばれる) \varOmega の部分集合 L(r) が以下で再帰的に定義されます．
- L(\Z)=\{0\} と，L(\I)=\{1\}．
- L(r+s)=L(r)\cup L(s),\,L(r\cdot s)=L(r)\cdot L(s),\,L(r^{\ast})=\{\varepsilon\}\cup L(r)\cup (L(r)\cdot L(r))\cup\cdots と，L(r^{\co})=\varOmega\setminus L(r) (ここで r と s は正規表現)．
特に L(r^{\ast}) は L(r) の任意有限回の繰り返し，L(r^{\co}) は L(r) の補集合です．例えば \varOmega=L（(\Z+\I)^{\ast}） です．
問題 1 正規表現 (\I^{\co}\cdot \I)^{\ast} を，スターが登場しない正規表現で書き直してください．
問題 2 正規表現 （(\Z+\I)\cdot \Z^{\ast}\cdot \I）^{\ast} を，スターの入れ子が登場しない正規表現で書き直してください．
例えば L(\Z^{\ast}+\Z^{\co})=L(\Z+\Z^{\co})\ (=\varOmega) なので，\Z^{\ast}+\Z^{\co} はスターを 1 回も使わない \Z+\Z^{\co} で書き直せています．また問題 2 のような書き直しの例としては，L（(\Z+(\I\cdot(\Z+\I))^{\ast})^{\ast}）=L(((\I^{\co}\cdot \I)^{\co})^{\ast}) があります．
出題：土岡俊介
応募規定［解答掲載2023年3月号］
郵送の場合
B5判の用紙をご使用のうえ，解答用紙 1 枚ごとにA：出題の番号(例：12月号出題1)，B：住所，氏名(ふりがなも明記，誌上での仮名を希望される方は，こちらに明記)，年齢，職業を記入して，下記宛先までお送りください．
〒170-8474 東京都豊島区南大塚3-12-4
日本評論社 数学セミナー〈エレガントな解答をもとむ〉係
メール送信の場合
B5判のサイズで，解答用紙 1 枚ごとにA：出題の番号(例：12月号出題1)，B：住所，氏名(ふりがなも明記，誌上での仮名を希望される方は，こちらに明記)，年齢，職業を記入して，下記フォームから PDF ファイルを送信して下さい (ファイルサイズ10MBまで)．
解答記載に LaTeX ご利用の方は，テンプレートもご活用下さい．テンプレート利用は任意です．またテンプレートの漢字コードはUTF8です．ファイルが文字化けするときは適宜変換してお使いください．
投稿フォームが上手く動かないなどの場合は，susemi_elegant@nippyo.co.jp に直接お送り下さい．
注意事項
- 締切：2022年12月8日
- 二題に応募されるときは，郵送の場合は解答用紙を，メール送信の場合はファイルを，出題ごとにかえてください．
- 年齢を忘れずにお書きください．
- 解答用紙は両面の使用を不可とします．
- 解答用紙はご返却できません．
- 問題のご感想も歓迎します．
- 出題掲載号：数学セミナー2022年12月号
- 解答・講評は，本誌2023年3月号にてご確認ください．
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