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出題（2023年6月号掲載分）／応募締切（6月8日）／解答（2023年9月号掲載）

エレガントな解答をもとむ(数学セミナー)｜ 2023.05.10

『数学セミナー』のコーナー「エレガントな解答をもとむ」の出題を掲載します．奮ってご応募ください．解答・講評(3ヶ月後)は，本誌にてご確認ください．

(毎月10日頃の掲載予定)

$\def\t#1{\text{#1}}\def\dfrac#1#2{\displaystyle\frac{#1}{#2}}$

出題1

無理数に関するやさしい 3 題です．中学生でも分かるような解答をお願いします．高校生のみなさんにもぜひ解いてもらいたいです．

(1) $f (x)=x^5+2x$に対して，方程式
\begin{align*}
f (x)=12
\end{align*}の正の解が無理数であることを証明してください．

(2)非負整数の階乗を 7 進数で順に書くと
\begin{align*}
1,\,1,\,2,\,6,\,33,\,231,\cdots
\end{align*}と進んでいきますが，これらを小数点以下に続けて書いた 10 進数の無限小数
\begin{align*}
0.1126332312046\cdots
\end{align*}が無理数であることを証明してください．

(3) $1,\,1,\,2,\,3,\,5,\,8,\,13,\,21,\cdots$と，$1,\,1$ から始まり，そのあとの項は直前の 2 つの項の和になっている数列をフィボナッチ数列といいます．隣り合った項の比が急速に黄金比 $1.618\cdots$ に近づくことが知られています．これらの数 (フィボナッチ数) を小数点以下に続けて書いた無限小数
\begin{align*}
0.11235813213455\cdots
\end{align*}も無理数であることを証明してください．

出題：竹内郁雄 (東京大学名誉教授)

出題2

奇数 $k\geqq 3$ に対し $A (k)=2^{2k}-2^k+1$ とおきます．

(1) 上記の任意の $k$ に対し $A (k)$ は 3 で割りきれるが 9 では割りきれないことを示してください．
(2) $\dfrac{1}{3}A (k)$ の値が素数のべき (素数の場合も含む) ならば $k$ の値は素数または $3$ のべきとなることを証明してください．

例えば $k=15,\,21,\,25$に対し $\dfrac{1}{3}A (k)$ の値の素因子分解はそれぞれ $19\times 18837001,\,19\times 77158673929,\,331\times 1133836730401$ となっています．

証明に必要ならばジグモンディ (Zsigmondy) の定理として知られている下記の定理 Z を用いても構いません．

定理 Z　自然数 $n\geqq 3,\, a\geqq 2$ に対し $(n,a)\not=(6,2)$ とする．このとき次の条件 (C) をみたす素数$q$が存在する．

(C) $q$ は $a^{n}-1$ を割りきるが $i=1,2,\cdots,n-1$ に対し $a^{i}-1$ を割りきらない．

定理 Z の証明には円周等分多項式をいかに利用するかが解く鍵になります．余力のある方はぜひチャレンジしてみてください．

出題：中川暢夫(近畿大学理工学部)，和田倶幸(東京農工大学名誉教授)