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出題（2023年6月号掲載分）／応募締切（6月8日）／解答（2023年9月号掲載）

エレガントな解答をもとむ(数学セミナー)｜ 2023.05.10

『数学セミナー』のコーナー「エレガントな解答をもとむ」の出題を掲載します．奮ってご応募ください．解答・講評(3ヶ月後)は，本誌にてご確認ください．

(毎月10日頃の掲載予定)

$\def\t#1{\text{#1}}\def\dfrac#1#2{\displaystyle\frac{#1}{#2}}$

出題1

無理数に関するやさしい 3 題です．中学生でも分かるような解答をお願いします．高校生のみなさんにもぜひ解いてもらいたいです．

(1) $f (x)=x^5+2x$ に対して，方程式
$\begin{align*} f (x)=12 \end{align*}$ の正の解が無理数であることを証明してください．

(2)非負整数の階乗を 7 進数で順に書くと
$\begin{align*} 1,\,1,\,2,\,6,\,33,\,231,\cdots \end{align*}$ と進んでいきますが，これらを小数点以下に続けて書いた 10 進数の無限小数
$\begin{align*} 0.1126332312046\cdots \end{align*}$ が無理数であることを証明してください．

(3) $1,\,1,\,2,\,3,\,5,\,8,\,13,\,21,\cdots$ と， $1,\,1$ から始まり，そのあとの項は直前の 2 つの項の和になっている数列をフィボナッチ数列といいます．隣り合った項の比が急速に黄金比 $1.618\cdots$ に近づくことが知られています．これらの数 (フィボナッチ数) を小数点以下に続けて書いた無限小数
$\begin{align*} 0.11235813213455\cdots \end{align*}$ も無理数であることを証明してください．

出題：竹内郁雄 (東京大学名誉教授)

出題2

奇数 $k\geqq 3$ に対し $A (k)=2^{2k}-2^k+1$ とおきます．

(1) 上記の任意の $k$ に対し $A (k)$ は 3 で割りきれるが 9 では割りきれないことを示してください．
(2) $\dfrac{1}{3}A (k)$ の値が素数のべき (素数の場合も含む) ならば $k$ の値は素数または $3$ のべきとなることを証明してください．

例えば $k=15,\,21,\,25$ に対し $\dfrac{1}{3}A (k)$ の値の素因子分解はそれぞれ $19\times 18837001,\,19\times 77158673929,\,331\times 1133836730401$ となっています．

証明に必要ならばジグモンディ (Zsigmondy) の定理として知られている下記の定理 Z を用いても構いません．

定理 Z　自然数 $n\geqq 3,\, a\geqq 2$ に対し $(n,a)\not=(6,2)$ とする．このとき次の条件 (C) をみたす素数 $q$ が存在する．

(C) $q$ は $a^{n}-1$ を割りきるが $i=1,2,\cdots,n-1$ に対し $a^{i}-1$ を割りきらない．