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出題（2023年10月号掲載分）／応募締切（10月8日）／解答（2024年1月号掲載）

エレガントな解答をもとむ(数学セミナー)｜ 2023.09.11

『数学セミナー』のコーナー「エレガントな解答をもとむ」の出題を掲載します．奮ってご応募ください．解答・講評(3ヶ月後)は，本誌にてご確認ください．

(毎月10日頃の掲載予定)

$\def\t#1{\text{#1}}\def\dfrac#1#2{\displaystyle\frac{#1}{#2}}$

出題1

$n$ チームが参加する大会でたくさんの試合がおこなわれる．ただし同じ相手とは 2 回以上対戦せず，またどの 4 チームをみてもその中での試合数が高々 1 のチームがある (これを「4 チーム条件」と呼ぶことにする)．

$n=7$ のとき試合総数が 9 となる例 (対戦組合せ) をあげよ．
一般に試合総数は $n\sqrt n$ を超えないことを示せ．

例えば $\t{A}\sim\t{G}$ の 7 チームが表のような 9 試合をおこなったとき，A, B, C, D の 4 チームをみると C はこの中で 1 試合だけである．しかし A, B, D, F の 4 チームをみるとどのチームもこの中で 2 試合以上おこなっていて「4 チーム条件」をみたさない．

$n$ チームの中の 2 チームを固定したとき，その両方と対戦するチームに注目するとよい．

出題：徳重典英（琉球大学教育学部）

注：「2」の問題文が誌面では下記のようになっていましたが，これは誤りでした．このページでも 2023 年 9 月 14 日までは同じく誤っておりました．お詫びして訂正いたします．(2023 年 9 月 14 日記)

(誤)「一般に試合総数は $n\sqrt{n}/2$ を超えないことを示せ」
(正)「一般に試合総数は $n\sqrt{n}$ を超えないことを示せ」

出題2

$n$ -次元超立方体 $I^n$ の頂点と辺からなる図形 (グラフ) を考えます．各辺は 1 オーム ( $\varOmega$ ) の抵抗素子でできています．原点 $\t{O}= (0, \cdots, 0)$ とその対角点 $\t{T} = (1, \cdots, 1)$ の間の抵抗を $R_n$ とします．明らかに $R_1 = 1$ で，合成抵抗の公式から $R_2 = 1$ です．

問1　 $R_3$ と $R_4$ を求めてください．
問2　 $R_n$ を求めてください．

さらに興味のある人は，対角点とは限らない二点間の抵抗についても考えてください．解答は問 1 だけでも良いし，問 2 だけでも十分です．

なお，自然数 $n$ に対し， $n$ -次元超立方体 $I^n$ とは， $(x_1,\cdots,x_n)$ ( $(x_i)$ は 0 か 1 である) の形の $2^n$ 個の点を頂点とし，成分が 1 つだけ異なる頂点同士を辺で結んでできる図形 (グラフ) のことです．とくに $n=1$ の場合は線分， $n=2$ の場合は正方形， $n=3$ の場合は立方体となります．