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出題（2024年5月号掲載分）／応募締切（5月8日）／解答（2024年8月号掲載）

エレガントな解答をもとむ(数学セミナー)｜ 2024.04.11

『数学セミナー』のコーナー「エレガントな解答をもとむ」の出題を掲載します．奮ってご応募ください．解答・講評(3ヶ月後)は，本誌にてご確認ください．

(毎月10日頃の掲載予定)

$\def\t#1{\text{#1}}\def\dfrac#1#2{\displaystyle\frac{#1}{#2}}$

出題1

$P (x)$ を有理数係数の $3$ 次多項式とする．このとき， $P (Q (x))$ が可約となるような有理数係数の $2$ 次多項式 $Q (x)$ が存在することを証明せよ．

ただし，有理数係数の多項式 $R (x)$ が可約であるとは，定数でない有理数係数の多項式 $R_1 (x),\,R_2 (x)$ であって $R (x)=R_1 (x) R_2 (x)$ を満たすものが存在することをいう．

出題：斎藤新悟 (九州大学基幹教育院)

$n$ を $2$ 以上の自然数として， $R=\{0,1,\cdots,n-1\}$ とします． $n$ 次正方行列 $A$ の各行および各列に $n$ 個の $R$ の異なる数が一つずつ入るとき， $A$ を方陣と見立てて $R$ 上のラテン方陣または $n$ 次ラテン方陣とよびます．

$R$ 上のラテン方陣 $A$ と $B$ について，同じ位置のセルに入る数の対全体が， $R$ の任意の $2$ 要素 $x$ と $y$ の対 $(x,y)$ のすべて ( $n^2$ 個ある) にわたるとき， $A$ と $B$ は互いに直交するといいます．例えば $3$ 次のラテン方陣

と

は，同じ位置のセルに入る数の対全体が $(0,0),\,(0,1),\,(0,2),\,(1,0),\,(1,1),\,(1,2),\,(2,0),\,(2,1),\,(2,2)$ のすべてにわたるので，互いに直交しています．

(1) $1$ より大きい奇数 $n$ に対し，互いに直交する $2$ つの $n$ 次ラテン方陣を構成しその構成手順を記してください．

(2) $3$ より大きい素数 $p$ に対し， $3$ つの $4p$ 次ラテン方陣でそのうちのどの $2$ つも互いに直交するようなものを構成してください．

余力のある方は互いに直交する $2$ つの $10$ 次ラテン方陣の構成にチャレンジしてみてください．

出題：中川暢夫 (近畿大学理工学部)

B5判の用紙をご使用のうえ，解答用紙 1 枚ごとにA：出題の番号(例：5月号出題1)，B：住所，氏名(ふりがなも明記，誌上での仮名を希望される方は，こちらに明記)，年齢，職業を記入して，下記宛先までお送りください．

〒170-8474　東京都豊島区南大塚3-12-4
日本評論社　数学セミナー〈エレガントな解答をもとむ〉係

B5判のサイズで，解答用紙 1 枚ごとにA：出題の番号(例：5月号出題1)，B：住所，氏名(ふりがなも明記，誌上での仮名を希望される方は，こちらに明記)，年齢，職業を記入して，下記フォームから PDF ファイルを送信して下さい (ファイルサイズ10MBまで)．

解答記載に LaTeX ご利用の方は，テンプレートもご活用下さい．テンプレート利用は任意です．またテンプレートの漢字コードはUTF8です．ファイルが文字化けするときは適宜変換してお使いください．

(1)投稿フォームが上手く動かない，(2)受信確認メール希望の方でメールが届かない，などの場合，susemi_elegant@nippyo.co.jp に直接お送り下さい．

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