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出題（2024年7月号掲載分）／応募締切（7月8日）／解答（2024年10月号掲載）

エレガントな解答をもとむ(数学セミナー)｜ 2024.06.11

『数学セミナー』のコーナー「エレガントな解答をもとむ」の出題を掲載します．奮ってご応募ください．解答・講評(3ヶ月後)は，本誌にてご確認ください．

(毎月10日頃の掲載予定)

$\def\t#1{\text{#1}}\def\dfrac#1#2{\displaystyle\frac{#1}{#2}}$

出題1

将棋の「銀」の駒を使った問題です．銀は前方，斜め前方，斜め後方のいずれかに動ける駒です (図 1 の○印に動けます) ．なおここでは将棋と違い，銀が「成る」ことはできないものとします．

図1

問1　この銀を最初に先手は 9 九，後手は 1 一に置き (図 2)，先手と後手が交互に銀を動かして相手の銀を取ったら勝ちというルールのゲームを行うとすると，このゲームは後手必勝，すなわち後手が最善を尽くせば有限手数で先手の銀を必ず取れることを確認してください．

問2　最初に先手と後手の銀を置く地点それぞれについて，このゲームの結論が先手必勝，引き分け，後手必勝のいずれになるかを述べてください．

図2

本問のアイデアは本誌にも何度も登場されている若島正さん (詰将棋作家，英文学者) ご提案の将棋パズルからです．解答は問 2 だけで結構です．なお将棋では駒の位置を算用数字と漢数字で表しますが，解答内では適宜座標設定をしていただいてかまいません．また，本問では $9 \times9$ サイズの盤で行う設定にしていますが，結論の証明はできるだけ一般の長方形の盤でも成り立つものを考えてみてください．

出題：篠田正人 (奈良女子大学研究院自然科学系)

出題2

(1) $X=\{1,2,\cdots,15\}$ とおく．A 君は $X$ の部分集合 $A_1,A_2,\cdots,A_{1000}$ で，任意の相異なる $i,\,j$ について
\begin{align}
|A_i\triangle A_j|\geqq 3 \tag{$\ast$}
\end{align}をみたすものを見つけた．これを聞いた B 君は A 君の情報から，$X$ の部分集合 $B_1,B_2,\cdots,B_{500}$ で，任意の相異なる $i,\,j$ について
\begin{align}
\text{$|B_i\triangle B_j|\geqq 3$ かつ $B_i\not\subset B_j$ かつ $B_i\not\supset B_j$} \tag{$\ast\ast$}
\end{align}をみたすものがあることに気づいた． B 君はどのように考えたのだろうか？

(2) 整数 $l\geqq 3$ について $n=2^l-1,\,X=\{1,2,\cdots,n\},\,s=2^{n-l}$ とおく．$X$ の部分集合 $A_1,A_2,\cdots,A_{s}$ で，任意の相異なる $i,\,j$ について ($\ast$) をみたすものが知られている．この事実を利用して，$X$ の部分集合 $B_1,B_2,\cdots,B_t$ で，任意の相異なる $i,\,j$ について ($\ast\ast$) をみたし，かつ $t>2^{n}/ (n\sqrt n)$ となるものがあることを示せ．

(1) のみの解答も歓迎します．なお，集合 $A,\,A’$ に対して $A\triangle A’=\{a:a\in A\cup A’\text{ かつ }a\not\in A\cap A’\}$ と定め，$|A|$ は集合 $A$ の要素の個数を表します．

出題：徳重典英 (琉球大学教育学部)