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『道具としての高校数学—物理学を学びはじめるための数学講義』（著：吉田弘幸）

一冊散策｜ 2019.10.29

新刊を中心に，小社刊行の本を毎月いくつか紹介します．

はじめに

物理を学問として学ぶためには数学の概念や手法を身につける必要があります。しかし，高等学校では数学の学習と物理の学習が並行して行われるため，本来用いるべき数学の手法を敢えて回避して学ばなければいけない部分もあります。これは，却かえって物理学の理解を妨げることになります。

本書は，高校生や意欲的な中学生に向けて数学の内容を紹介していきます。そして，読者のみなさんに，数学を道具（思考と推論のための言語）として使いこなし，物理学の学習を楽しんでもらうことを期待しています。中学の数学を習得していれば読み始められるように書きました。高校や大学で数学をあまり広く学ばなかった大人の方に，物理を学ぶ準備として利用されることも期待しています。

全体は 2 部構成になっています。第 I 部が数学の内容の基礎講義，第 II 部は物理の学習に数学が応用されている例を紹介します。第 I 部には簡単な練習問題も付けました。その解答を付録 B として掲載しました。また本文の中で省略した単純な計算過程（(*1)などで示した）を付録 C として掲載しました。

第 I 部は，物理の学習に必要な道具としての数学のカタログと理解してください。本書の記述が一応納得できれば，高校の間の物理の学習には困りません。しかし，数学としての内容にはやや偏りがあります。すべてを盛り込むと分量が 3 倍くらいに膨れてしまうため，大胆に割愛している部分もあります。足りない部分は数学の教科書等で補って学習してください。

第 I 部では，高校物理を完全に理解するために必要十分な項目を採り上げました。そのため，高校数学の内容であっても採り上げていない項目もありますし，逆に，高校数学の範囲を逸脱する内容もあります。参考のため，第 I 部の各章と高校数学の教科書との大まかな対応を示しておきます。

第1章	関数	：数学I，数学A
第2章	三角比	：数学I
第3章	ベクトル	：数学B
第4章	微分の考え方	：数学II
第5章	積分の考え方	：数学II
第6章	微積分の手法	：数学III
第7章	三角関数	：数学II，数学III
第8章	指数関数・対数関数	：数学II，数学III
第9章	関数の級数展開	：範囲外
第10章	曲線の方程式	：数学II
第11章	複素数	：数学III
第12章	微分方程式	：範囲外

ご自身の学習の進捗状況に合わせて利用してください。

前半の第 6 章くらいまでの内容が確認できていれば，力学の学習を進めていくのに当面の間は困らないでしょう。第 7 章以降は，物理の学習と並行して読み進めてください。章が進むに連れて，内容の難易度と抽象度が上がり，計算の手間も増えるようになっていきます。皆さんが，本書での学習の進行と共に成長していくことを期待します。

2019 年 10 月

吉田弘幸

あとがき

前著『はじめて学ぶ物理学 (上)(下)』（日本評論社）は，著者が SEG（科学的教育グループ）で高校生向けに行っている講義のエッセンスです。高校物理の学習を通して物理学の楽しさ・奥深さを多くの方に知っていただくために著したものです。ところで，物理学の学習には数学知識が必須です。SEG の生徒達は比較的速いペースで数学を学んでいるため，この本で紹介したような議論にも耐えることができます。

高校物理の範囲であれば，それほど高度な内容を必要とはしませんが，高校数学の内容は一通り必要になります。そうすると，『はじめて学ぶ物理学』を読むことは，数学が学習途上にある高 1，高 2 の生徒にはややハードルが高くなってしまいます。しかし，高 1，高 2 の生徒，さらに意欲的な中学生にも読んでもらいたいという期待があります。それが本書を執筆する原動力になりました。

高校物理の学習に必要十分な項目をできる限り基礎的な内容から紹介する形で記述しました。中学の数学の理解と，学ぶ意欲があれば，中学生でも読めるように記述しています。つまり，高校で学ぶ内容については，その知識を前提せずに読み進めるように注意しました。なお，数学を，物理を理解するための言語（道具）として駆使できるようになることが本書の目的です。そのため，「はじめに」にも記載した通り，扱っている項目や説明の仕方にはやや偏りがあります。高校生としての数学の学習は，他の書籍等で補ってください。

第 I 部は数学の講義，第 II 部が物理への応用例の紹介となっています。高校物理の知識がまったくない場合は，第 II 部は少し難しく感じるかも知れません。その場合は，第I部を学習した後に是非『はじめて学ぶ物理学』での学習に進んでください。本書の第 I 部と『はじめて学ぶ物理学』を読んで戴ければ，高校数学が未習の方でも高校物理の全体を自学自習することが可能です。

付録 A の「線形空間」は，高校物理の理解には必ずしも必須な項目ではありませんが，私の趣味で掲載しました。数学の新しい概念を学ぶことにより視野が広がりさまざまな項目を統一的に整理できることを体験して戴けると思います。

本書の編集も，前著と同様に亀書房の亀井哲治郎氏が担当してくださいました。前著を読むための準備となる数学の本を著したいという私の気持ちを企画として採用してくださり，そのお陰で書籍として形にすることができました。亀井氏からは，内容面に関しても多くのアドバイスを戴きました。また，草稿を読みやすく整えてくださり，図版を作成してくださったのも前著と同様に亀井氏の奥様です。お二人には，心よりお礼を申し上げます。

本書の表紙のデザインも，前著と同様に銀山宏子氏にお願いしました。今回のデザインも爽やかなイメージの素晴らしいものですが，特に，前著と 3 冊並べたときの調和感にも配慮してくださいました。

SEG の同僚である数学科講師の井上麻愉子氏は原稿の全体を精査し，多くの有益な指摘をくださいました。精度の高い形で本書を読者の皆様にお届けできるのは井上さんのお陰です。勿論，本書の記述内容に関する責任は，すべて著者である私にあります。

著者の専門は物理学です。多くの若者に物理学を楽しく学んでもらいたい，そういう気持ちが前著および本書を執筆した動機です。本書が多くの若い読者に届き，物理学の学習の手助けとなることを期待しています。

2019 年 10 月

吉田弘幸

はじめに
第 I 部　数学講義
- 第 1 章　関数
  - 1.1　命題と条件／1.2　変数と集合／1.3　必要条件・十分条件／1.4　対応と関数／1.5　関数の例／1.6　関数のグラフ／1.7　逆関数／1.8　関数の合成
- 第 2 章　三角比
  - 2.1　三角定規／2.2　鋭角の三角比／2.3　三角比の定義／2.4　三角比の基本関係式／2.5　三角形への応用／2.6　定義の拡張
- 第 3 章　ベクトル
  - 3.1　スカラーとベクトル／3.2　ベクトルの具体例／3.3　ベクトルの成分表示／3.4　ベクトルの相等／3.5　ベクトルの基本演算／3.6　ベクトルの内積
- 第 4 章　微分の考え方
  - 4.1　関数の平均変化率／4.2　微分係数／4.3　導関数／4.4　多項式の導関数／4.5　x^pの導関数
- 第 5 章　積分の考え方
  - 5.1　積分／5.2　数列の和／5.3　定積分／5.4　微積分の基本定理／5.5　多項式の積分
- 第 6 章　微積分の手法
  - 6.1　積の微分／6.2　合成関数の微分／6.3　陰関数の微分／6.4　高次導関数／6.5　部分積分／6.6　置換積分
- 第 7 章　三角関数
  - 7.1　弧度法／7.2　三角関数の定義／7.3　三角関数の基本性質／7.4　三角関数の加法定理／7.5　三角関数の合成／7.6　三角関数に関する極限／7.7　三角関数の微分／7.8　三角関数の積分
- 第 8 章　指数関数・対数関数
  - 8.1　指数／8.2　指数関数／8.3　対数関数／8.4　指数関数・対数関数の極限／8.5　指数関数・対数関数の微分／8.6　指数関数の積分／8.7　対数関数の積分
- 第 9 章　関数の級数展開
  - 9.1　近似／9.2　テーラー級数／9.3　フーリエ級数
- 第 10 章　曲線の方程式
  - 10.1　xy 平面上の曲線／10.2　媒介変数表示／10.3　極座標／10.4　2次曲線
- 第 11 章　複素数
  - 11.1　虚数／11.2　複素数平面／11.3　オイラーの公式
- 第 12 章　微分方程式
  - 12.1　微分方程式／12.2　1階斉次線形常微分方程式／12.3　2階斉次線形常微分方程式
第 II 部　物理学への応用
- 第 1 章　点の運動
  - 1.1　点の位置／1.2　速度・加速度／1.3　放物運動
- 第 2 章　終端状態のある現象
  - 2.1　抵抗力のある落下運動／2.2　コンデンサーを含む直流回路／2.3　コイルを含む直流回路
- 第 3 章　振動現象
  - 3.1　単振動／3.2　電気振動／3.3　交流回路
付録A　線形空間
付録B　練習問題の解答・考え方
付録C　本文中で省略した計算
付録D　ギリシャ文字
付録E　三角比表
あとがき
索引