出題（2020年9月号掲載分）／応募締切（9月8日）／解答（2020年12月号掲載）
出題1
\begin{align*}
a=7\sqrt{11}+8(7\sqrt{11}+3\sqrt{3})^{\frac 13}
+8(7\sqrt{11}-3\sqrt 3)^{\frac 13}
\end{align*}とします．近似的には
\begin{align*}
68.60158545708098436\cdots
\end{align*}という値です．次に
\begin{align*}
b=
\sqrt{
48(35099+21\sqrt{33})^{\frac 13}
+48(35099−21\sqrt{33})^{\frac 13}
+1563}
\end{align*}こちらの近似値は
\begin{align*}
68.60158545708098436\cdots
\end{align*}です．$a$ と $b$ は等しいでしょうか，それとも等しくないでしょうか．等しければ等しいことを，等しくなければ等しくないことを示してください．
出題：渋川元樹
出題2
電卓をたたいてみるとすぐに分かりますが，$\sqrt{28} + \sqrt{45}$ の値は整数 $12$ に近い値になります．同じような性質をもった正の整数の対は，意外に多く存在します．
(1) $A = \sqrt{110890} + \sqrt{443554}$, $B = \sqrt{110888} +\sqrt{443558}$ とおくと，$A,\, B$ はともに $999$ に非常に近い値になります．不等式 $999 > A > B$ が成り立つことを，なるべくエレガントな方法で示してください．
(2)正の整数 $m$ をうまく選べば，$\sqrt{2} +\sqrt{m}$ の値はいくらでも整数値に近づけられることを示してください．（例えば $\sqrt 2 +\sqrt{21} \risingdotseq 6$, $\sqrt{2} +\sqrt{761}\risingdotseq 29$, $\sqrt{2} + \sqrt{4704}\risingdotseq 70$ ですが，後者になるほど，よりよい整数の近似値になっています．）
(3) $n\risingdotseq \sqrt{a} +\sqrt{b}$ ($n,\,a,\,b$ は正の整数) となるような例を無限に多く構成してください．
問題文の表現にあいまいなところがありますが，常識的に判断してください．また（3）において，$\sqrt{4} + \sqrt{9} = 5$ や $\sqrt{n^2−1} +\sqrt{n^2+1}\risingdotseq 2n$ のように完全平方数を利用した “自明な” 例は除外して考えてください．
できるだけ近似精度の高い例の構成を期待しています．3 題のうち，1 題ないし 2 題のみの応募でもかまいません．
出題：阿賀岡芳夫
応募規定［解答掲載2020年12月号］
郵送の場合
B5判の用紙をご使用のうえ，解答用紙 l 枚ごとにA：出題の番号(例：9月号出題1)，B：住所，氏名(ふりがなも明記，誌上での仮名を希望される方は，こちらに明記)，年齢，職業を記入して，下記宛先までお送りください．
〒170-8474 東京都豊島区南大塚3-12-4
日本評論社 数学セミナー〈エレガントな解答をもとむ〉係
メール送信の場合
B5判のサイズで，解答用紙l枚ごとにA：出題の番号(例：9月号出題1)，B：住所，氏名(ふりがなも明記，誌上での仮名を希望される方は，こちらに明記)，年齢，職業を記入して，下記フォームから PDF ファイルを送信して下さい(ファイルサイズ10MBまで)．
解答記載に LaTeX ご利用の方は，テンプレートもご活用下さい．テンプレート利用は任意です．またテンプレートの漢字コードはUTF8です．ファイルが文字化けするときは適宜変換してお使いください．
投稿フォームが上手く動かないなどの場合は，susemi_elegant@nippyo.co.jp に直接お送り下さい．
注意事項
- 締切：2020年9月8日
- 二題に応募されるときは，郵送の場合は解答用紙を，メール送信の場合はファイルを，出題ごとにかえてください．
- 年齢を忘れずにお書きください．
- 解答用紙は両面の使用を不可とします．
- 解答用紙はご返却できません．
- 問題のご感想も歓迎します．
- 出題掲載号：数学セミナー2020年9月号
- 解答・講評は，本誌2020年12月号にてご確認ください．