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出題（2021年1月号掲載分）／応募締切（1月8日）／解答（2021年4月号掲載）

エレガントな解答をもとむ(数学セミナー)｜ 2020.12.09

『数学セミナー』のコーナー「エレガントな解答をもとむ」の出題を掲載します．奮ってご応募ください．解答・講評(3ヶ月後)は，本誌にてご確認ください．

(毎月10日頃の掲載予定)

$\def\t#1{\text{#1}}\def\dfrac#1#2{\displaystyle\frac{#1}{#2}}$

出題1

有名なケーキカット問題であるが，ここでは公平にカットするのではなく，偏ったカットを扱う．ケーキは一様な直方体のものを考えていただけばいいだろう．太郎と花子による次のプロトコルを考える．

太郎がケーキを切って $A$ と $B$ に分ける．
再び太郎が $A$ を切って $A_1$ と $A_2$ に分ける．
花子は (i) $A_1$ を取る，または (ii) $A_2$ を取る，または (iii) 何も取らない．
花子が (i) または (ii) を選択したら太郎は取られなかった方と $B$ を取る (ゲーム終了)．(iii) を選択したら太郎は $A_1$ または $A_2$ を取る．花子は残りを取って，$B$ を 2 つに切る $(B_1,B_2)$．
太郎が $B_1$ または $B_2$ を取り，花子が残りを取る (ゲーム終了)．

(1) お互いにできるだけ多く取るために最善を尽くすと，太郎の取り分はどのくらいになるか．
(2) ステップ 1 と 2 両方を以下のように変更するとどうか．いずれも最適性に言及すること．

花子がケーキを切って $A$ と $B$ に分ける．
太郎はどちらかを取るか，いずれも取らない．取れば花子は残りを取ってゲーム終了．取らない場合，太郎が $A$ を切って $A_1$ と $A_2$ に分ける．

出題：岩間一雄

出題2

平面上の点列 $\t A_0,\t A_1,\t A_2,\cdots$ を $\{\t A_n\}$ と書くことにします．$M=(m_{ij})$ を 3 次正則行列(逆行列をもつ行列) であるとし，3 つの点列 $\{\t A_n\},\,\{\t B_n\},\,\{\t C_n\}$ が $M$ の成分を係数とするような線形の連立漸化式を満たすとは，
\begin{align*}
\left\{
\begin{array}{1}
\t A_{n+1}=m_{11}\t A_n+m_{12}\t B_n+m_{13}\t C_n \\[4pt]
\t B_{n+1}=m_{21}\t A_n+m_{22}\t B_n+m_{23}\t C_n \\[4pt]
\t C_{n+1}=m_{31}\t A_n+m_{32}\t B_n+m_{33}\t C_n
\end{array}
\right.
\end{align*}であることを意味するものとします (演算は座標成分ごとに行うものとします)．また，たとえば点列 $\{\t A_n\}$ が $\t A_{n+1}=\t A_n$ で与えられたとするとき，これを自明な漸化式と呼ぶことにします．

問1　以下の条件を満たす，自明な漸化式を含まないような 3 次正則行列 $M$ の例をできるだけたくさん見つけてください．

(条件)　$\t A_0,\,\t B_0,\,\t C_0$ が平面上の相異なる 3 点であるとしたとき，$M$ の成分を係数とする線形の連立漸化式から決まる点列 $\{\t A_n\},\,\{\t B_n\},\,\{\t C_n\}$ について，$\lim\limits_{n\to\infty}\t A_n,\,\lim\limits_{n\to\infty}\t B_n,\,\lim\limits_{n\to\infty}\t C_n$ は相異なる 3 点に収束し，その極限をそれぞれ $\t A_\infty,\,\t B_\infty,\,\t C_\infty$ と置いたときに $\t B_\infty$ は $\t A_\infty\t C_\infty$ の中点である．

問2　自明な漸化式を含まないような，正則行列を係数とする線形の連立漸化式であって，任意の相異なる 6 点から始めて下図を得るような漸化式を提案してください．ただし，$\t D,\,\t E,\,\t F$ はそれぞれ $\t{AE},\,\t{BF},\,\t{CD}$ の中点であるものとします．