出題（2021年1月号掲載分）／応募締切（1月8日）／解答（2021年4月号掲載）
出題1
有名なケーキカット問題であるが，ここでは公平にカットするのではなく，偏ったカットを扱う．ケーキは一様な直方体のものを考えていただけばいいだろう．太郎と花子による次のプロトコルを考える．
- 太郎がケーキを切って A と B に分ける．
- 再び太郎が A を切って A1 と A2 に分ける．
- 花子は (i) A1 を取る，または (ii) A2 を取る，または (iii) 何も取らない．
- 花子が (i) または (ii) を選択したら太郎は取られなかった方と B を取る (ゲーム終了)．(iii) を選択したら太郎は A1 または A2 を取る．花子は残りを取って，B を 2 つに切る (B1,B2)．
- 太郎が B1 または B2 を取り，花子が残りを取る (ゲーム終了)．
(1) お互いにできるだけ多く取るために最善を尽くすと，太郎の取り分はどのくらいになるか．
(2) ステップ 1 と 2 両方を以下のように変更するとどうか．いずれも最適性に言及すること．
- 花子がケーキを切って A と B に分ける．
- 太郎はどちらかを取るか，いずれも取らない．取れば花子は残りを取ってゲーム終了．取らない場合，太郎が A を切って A1 と A2 に分ける．
出題：岩間一雄
出題2
平面上の点列 A0,A1,A2,⋯ を {An} と書くことにします．M=(mij) を 3 次正則行列(逆行列をもつ行列) であるとし，3 つの点列 {An},{Bn},{Cn} が M の成分を係数とするような線形の連立漸化式を満たすとは，
{An+1=m11An+m12Bn+m13CnBn+1=m21An+m22Bn+m23CnCn+1=m31An+m32Bn+m33Cnであることを意味するものとします (演算は座標成分ごとに行うものとします)．また，たとえば点列 {An} が An+1=An で与えられたとするとき，これを自明な漸化式と呼ぶことにします．
問1 以下の条件を満たす，自明な漸化式を含まないような 3 次正則行列 M の例をできるだけたくさん見つけてください．
(条件) A0,B0,C0 が平面上の相異なる 3 点であるとしたとき，M の成分を係数とする線形の連立漸化式から決まる点列 {An},{Bn},{Cn} について，limn→∞An,limn→∞Bn,limn→∞Cn は相異なる 3 点に収束し，その極限をそれぞれ A∞,B∞,C∞ と置いたときに B∞ は A∞C∞ の中点である．
問2 自明な漸化式を含まないような，正則行列を係数とする線形の連立漸化式であって，任意の相異なる 6 点から始めて下図を得るような漸化式を提案してください．ただし，D,E,F はそれぞれ AE,BF,CD の中点であるものとします．
出題：阿原一志
応募規定［解答掲載2021年4月号］
郵送の場合
B5判の用紙をご使用のうえ，解答用紙 l 枚ごとにA：出題の番号(例：1月号出題1)，B：住所，氏名(ふりがなも明記，誌上での仮名を希望される方は，こちらに明記)，年齢，職業を記入して，下記宛先までお送りください．
〒170-8474 東京都豊島区南大塚3-12-4
日本評論社 数学セミナー〈エレガントな解答をもとむ〉係
メール送信の場合
B5判のサイズで，解答用紙l枚ごとにA：出題の番号(例：1月号出題1)，B：住所，氏名(ふりがなも明記，誌上での仮名を希望される方は，こちらに明記)，年齢，職業を記入して，下記フォームから PDF ファイルを送信して下さい (ファイルサイズ10MBまで)．
解答記載に LaTeX ご利用の方は，テンプレートもご活用下さい．テンプレート利用は任意です．またテンプレートの漢字コードはUTF8です．ファイルが文字化けするときは適宜変換してお使いください．
投稿フォームが上手く動かないなどの場合は，susemi_elegant@nippyo.co.jp に直接お送り下さい．
注意事項
- 締切：2021年1月8日
- 二題に応募されるときは，郵送の場合は解答用紙を，メール送信の場合はファイルを，出題ごとにかえてください．
- 年齢を忘れずにお書きください．
- 解答用紙は両面の使用を不可とします．
- 解答用紙はご返却できません．
- 問題のご感想も歓迎します．
- 出題掲載号：数学セミナー2021年1月号
- 解答・講評は，本誌2021年4月号にてご確認ください．