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出題（2023年1月号掲載分）／応募締切（1月8日）／解答（2023年4月号掲載）

エレガントな解答をもとむ(数学セミナー)｜ 2022.12.09

『数学セミナー』のコーナー「エレガントな解答をもとむ」の出題を掲載します．奮ってご応募ください．解答・講評(3ヶ月後)は，本誌にてご確認ください．

(毎月10日頃の掲載予定)

$\def\t#1{\text{#1}}\def\dfrac#1#2{\displaystyle\frac{#1}{#2}}$

出題1

平面三角形 $\t{ABC}$ と同じ面上の点 $\t P$ に対して，その重心座標 $(\alpha, \beta, \gamma)$ は，次のように定義されます．平面上の任意の一定点 $\t O$ を原点とするとき，ベクトルによる表現で，点 $\t P$ に対し
\begin{align*}
\overrightarrow{\mathrm {OP}}=\alpha \overrightarrow{\mathrm {OA}}+ \beta \overrightarrow{\mathrm {OB}}+ \gamma \overrightarrow{\mathrm {OC}}, \qquad \alpha+\beta+\gamma=1
\end{align*}を満たす実数 $\alpha,\, \beta,\, \gamma$ が一意的に定まり，その値は原点 $\t O$ に依存しません (以上の事実を証明する必要はありません) ．

重心座標はその比だけで十分な場合がある；例えば外心の重心座標の比は，3 辺長を $a,\,b,\,c$ として
\begin{align*}
a^2 (-a^2+b^2+c^2) : b^2 (a^2-b^2+c^2) : c^2 (a^2+b^2-c^2)
\end{align*}と表されます．これに対して重心座標の比が
\begin{align*}
a (-a+b+c) : b (a-b+c) : c (a+b-c)
\end{align*}で与えられる点を，仮に類外心とよびます．

問 1　$\triangle\t{ABC}$ の 3 個の傍心 ${\mathrm {E_ A,\, E_ B, \, E_ C}}$ の作る三角形は，辺上にもとの頂点 $\t A,\,\t B,\,\t C$ を含みます．3 頂点 $\t A,\,\t B,\,\t C$ を通り，そこでそれぞれ辺 ${\mathrm { E_ B E_ C,\, E_ C E_ A,\, E_ A E_ B}}$ に接する楕円の中心が，上述の類外心になることを確かめてください．

問 2　上述のほかに，「類外心」はどのような幾何学的意味をもつでしょうか？　この点に関する昔の文献などの情報をも歓迎します．

出題：一松信

出題2

(1)平面上に長さ $1$ の線分 $\t P_1\t P_2$ があります．$\t P_1$ を中心とし半径 $1$ の円板と $\t P_2$ を中心とし半径 $1$ の円板の共通部分を，線分 $\t P_1\t P_2$ で $2$ つに分けた領域の片側を $D$ とします．ここで，境界も領域 $D$ に含まれるものとします (図左)．

このとき，領域 $D$ の任意の $2$ 点 $\t Q_1,\,\t Q_2$ に対し，線分 $\t Q_1\t Q_2$ の長さが $1$ 以下となることを示して下さい．

(2) $3$ 次元空間上に辺の長さ $1$ の正三角形があります．各頂点を中心とした半径 $1$ の球体の共通部分を，正三角形を含む平面で $2$ つに分けた領域の片側を $D$ とします．ここで，境界も領域 $D$ に含まれるものとします (図右)．

このとき，領域 $D$ の任意の $2$ 点 $\t Q_1,\,\t Q_2$ に対し，線分 $\t Q_1\t Q_2$ の長さが $1$ 以下となることを示して下さい．

高次元版に対する解答やコメントも歓迎します．