出題（2023年2月号掲載分）／応募締切（2月8日）／解答（2023年5月号掲載）
出題1
辺の長さが $3,\, 4,\, 5$ のピタゴラス三角形をつないで凸多角形を作る．それを凸 $N$ 角形としたとき，$N$ の最大値を求めよ．ただし，ピタゴラス三角形はすべて同じ大きさとする．裏返しは可能である．また，多角形の内部にすき間があってはいけない．下に凸七角形の例を示す．
出題：小谷善行
出題2
すべての原始 $n$ 乗根を根にもつ既約多項式 $\varPhi_n(t)$ を円分多項式といいます．例えば，$\varPhi_3(t)=t^2+t+1$ や $\varPhi_6(t)=t^2-t+1$ となります．この場合，$2$ つの根はそれぞれ，絶対値が $1$ で偏角が $\dfrac{2\pi}{3},\,\dfrac{4\pi}{3}$ と $\dfrac{\pi}{3},\, -\dfrac{\pi}{3}$ となる複素数となります．このとき，新しい実数パラメータ $a$ を導入して多項式 $F_{a}(t)=t^2+at+1$ を考えると，$-1\leqq a\leqq 1$ において $F_a(t)$ の根は単位円上にのり，$F_1(t)=\varPhi_3(t)$ かつ $F_{-1}(t)=\varPhi_6(t)$ が成り立ち，$\varPhi_3(t)$ と $\varPhi_6(t)$ の $2$ つの根を単位円を通して移しています．それらの根の動きは複素平面上ちょうど下のようになります．
このように同じ次数 $n$ の円分多項式 $g_0(t),\,g_1(t)$ に対して，ある実数パラメータ $a$ をもつ実数係数 $n$ 次多項式 $G_a(t)$ が
(1) $G_{a_0}(t)=g_0(t)$ かつ $G_{a_1}(t)=g_1(t)$ を満たし
(2) $G_a(t)$ は $a_0$ と $a_1$ の間において根をすべて単位円上にもつ
とき，$G_a(t)$ を $g_0(t)$ と $g_1(t)$ の間を繋ぐ補間多項式と呼ぶことにしましょう．
先程の例において，$F_a(t)$ は $\varPhi_3(t)$ と $\varPhi_6(t)$ を間を繋ぐ補間多項式となります．実は $F_0(t)=\varPhi_4(t)$ にもなっており，すべての $2$ 次の円分多項式はこのたった $1$ つの補間多項式 $F_a(t)$ によって繋がっていることになります．
$4$ 次の円分多項式は全部で $\varPhi_5(t),\,\varPhi_8(t),\,\varPhi_{10}(t),\,\varPhi_{12}(t)$ だけあります．これらを繋ぐ補間多項式は存在するでしょうか，もし存在するならどのようにとればよいでしょうか？ 複数の補間多項式によって繋いでも構いませんが，$a$ と $t$ の多項式など，なるべくシンプルな解答をお待ちしております．さらに，ほかの次数ではどうなるでしょうか？
出題：丹下基生
応募規定［解答掲載2023年5月号］
郵送の場合
B5判の用紙をご使用のうえ，解答用紙 1 枚ごとにA：出題の番号(例：2月号出題1)，B：住所，氏名(ふりがなも明記，誌上での仮名を希望される方は，こちらに明記)，年齢，職業を記入して，下記宛先までお送りください．
〒170-8474 東京都豊島区南大塚3-12-4
日本評論社 数学セミナー〈エレガントな解答をもとむ〉係
メール送信の場合
B5判のサイズで，解答用紙 1 枚ごとにA：出題の番号(例：2月号出題1)，B：住所，氏名(ふりがなも明記，誌上での仮名を希望される方は，こちらに明記)，年齢，職業を記入して，下記フォームから PDF ファイルを送信して下さい (ファイルサイズ10MBまで)．
解答記載に LaTeX ご利用の方は，テンプレートもご活用下さい．テンプレート利用は任意です．またテンプレートの漢字コードはUTF8です．ファイルが文字化けするときは適宜変換してお使いください．
投稿フォームが上手く動かないなどの場合は，susemi_elegant@nippyo.co.jp に直接お送り下さい．
注意事項
- 締切：2023年2月8日
- 二題に応募されるときは，郵送の場合は解答用紙を，メール送信の場合はファイルを，出題ごとにかえてください．
- 年齢を忘れずにお書きください．
- 解答用紙は両面の使用を不可とします．
- 解答用紙はご返却できません．
- 問題のご感想も歓迎します．
- 出題掲載号：数学セミナー2023年2月号
- 解答・講評は，本誌2023年5月号にてご確認ください．
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