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出題（2024年10月号掲載分）／応募締切（10月8日）／解答（2025年1月号掲載）

エレガントな解答をもとむ(数学セミナー)｜ 2024.09.10

『数学セミナー』のコーナー「エレガントな解答をもとむ」の出題を掲載します．奮ってご応募ください．解答・講評(3ヶ月後)は，本誌にてご確認ください．

(毎月10日頃の掲載予定)

$\def\t#1{\text{#1}}\def\dfrac#1#2{\displaystyle\frac{#1}{#2}}$

出題1

ふたつの関数 $f(x)$ と $g(x)$ が可換であるとは，
\begin{align*}
f(g(x)) = g(f(x))
\end{align*}を満たすことをいいます．例えば $f(x) = x$ はどんな関数とも可換です．ここでは，多項式はすべて有理数係数であるとします．

問 1　単項式 $p(x) = x^m$ ($m \geqq 2$)と可換な $n$-次多項式 $F_n(x)$ を求めてください．

問 2　2 次多項式 $p(x)$ と可換な 3 次多項式 $F_3(x)$ の組 $(p(x), F_3(x))$ を求めてください．

問 3　互いに可換な $n$-次多項式 $F_n(x)$ ($n=0,1,2,3,\cdots$) の列
\begin{align*}
&F_0(x) = 1,\\
&F_1(x) = x,\\
&F_2(x), F_3(x), \cdots, F_n(x), \cdots
\end{align*}を作ってください．

興味のある人は，問題の多項式の係数が実数や複素数，あるいはより一般の可換整域の場合を考えてみてください．また，可換な $m$ 次多項式と $n$ 次多項式の組については何がいえるでしょうか．

出題：吉田知行（北海道大学名誉教授）

出題2

$n$ を正の整数として，図 1 のような正方形のマスからなる $n\times n$ の格子を考える．格子の各マスに ‘a’ か ‘b’ の 1 文字を書いたものを $n\times n$ の文字盤と呼ぶことにする．図 2 の左は $4\times 4$ の文字盤の例である．

文字盤 $S$ に対して自然数 $l(S)$ を以下のように定義する．$S$ のあるマスからスタートし，隣接する右のマスまたは上のマスへの移動を繰り返すような経路を考える．(移動回数は $0$ でもよい．)　経路上のマスに書かれた文字を通った順に並べることで，各経路に対して文字列が 1 つ定まる．このような文字列のうち，回文となるものの長さの最大値を $l(S)$ と定めよう．例えば，図 2 右の経路に対応する文字列は ‘aabaa’ であり，また $l(S)=6$ である．

ただし，回文とは順序を逆にしても変わらない文字列のことで，例えば，’a’ と ‘ababa’ と ‘ababbbaba’ は回文であり， ‘ababab’ と ‘aaaabbbb’ は回文ではない．

$n\times n$ の文字盤 $S$ をすべて考えたときの $l(S)$ の最小値を $L_{n}$ と置く．$L_{2024}$ を求め，$l(S)=L_{2024}$ となるような $2024\times 2024$の文字盤 $S$ の個数を求めよ．