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出題（2025年2月号掲載分）／応募締切（2月8日）／解答（2025年5月号掲載）

エレガントな解答をもとむ(数学セミナー)｜ 2025.01.10

『数学セミナー』のコーナー「エレガントな解答をもとむ」の出題を掲載します．奮ってご応募ください．解答・講評(3ヶ月後)は，本誌にてご確認ください．

(毎月10日頃の掲載予定)

$\def\t#1{\text{#1}}\def\dfrac#1#2{\displaystyle\frac{#1}{#2}}$

出題1

面積と周長とが等しい長方形を考えます．周長とは全部の辺の長さの和です．たとえば，縦と横の辺が $3$ と $6$ なら，面積も周長も $18$ です．辺の長さを小数点以下の桁が $n$ 桁以内の有限小数 (つまり小数点以下 $n+1$ 桁より下位はすべて$0$) としたとき，解の数がいくつあるかを示してください．

ただし縦辺と横辺を入れ替えた解は同じ解とみなします．

出題：小谷善行 (東京農工大学名誉教授)

出題2

『数学セミナー』の読者の皆さんは，次の有名な事実をご存じですね．

コーシーの関数方程式の解　実数全体で定義された実数値関数 $f(x)$ が
\begin{align*}
\text{任意の実数}\,x,\,y\,\text{に対して}\,f (x+y) = f (x) + f (y)
\end{align*}を満たすとする．このとき

(1) $f(x)$ が連続関数ならば，$f(x)$ は線形関数 $ax+b$ である．

(2) $f(x)$ が連続関数でなければ，$f(x)$ が線形関数以外の関数となる場合が無数に存在する．

では，この事実に因ちなんだ問題です．

初級問題　実数全体で定義された実数値関数 $f(x)$ が
\begin{align*}
\text{任意の実数}\,x,\,y\,\text{に対して}\,f (xy) = f (x) f (y)
\end{align*}を満たし，さらに
\begin{align*}
\text{ある実数}\,a\,(\neq 0)\,\text{が存在して}\text{任意の実数}\,x\,\text{に対して} \,f (x+a) = f (x) + f (a)
\end{align*}が成り立つとする．このとき，関数 $f (x)$ を求めよ．

中級問題　実数全体で定義された実数値関数 $f(x)$ が
\begin{align*}
\text{ある自然数}\,n\,\text{が存在して}\text{任意の実数}\,x,\,y\,\text{に対して} \,f (x+y^n) = f (x) + f (y)^n
\end{align*}を満たすとする．このとき，関数 $f (x)$ を求めよ．

「中級問題」は，$n = 1$ のときがコーシーの関数方程式の場合ですので，$\boldsymbol{n \geqq 2}$ と仮定して解答してください．「初級問題」および「中級問題」では，$\boldsymbol{f (x)}$ が連続関数であることは仮定しておりませんので，注意してください．

『数学セミナー』の聡明な読者の皆さんには，“エレガントな” 解答を期待しています．