Web日本評論 > お知らせ > 出題（2024年12月号掲載分）／応募締切（12月8日）／解答（2025年3月号掲載）

出題（2024年12月号掲載分）／応募締切（12月8日）／解答（2025年3月号掲載）

エレガントな解答をもとむ(数学セミナー)｜ 2024.11.11

『数学セミナー』のコーナー「エレガントな解答をもとむ」の出題を掲載します．奮ってご応募ください．解答・講評(3ヶ月後)は，本誌にてご確認ください．

(毎月10日頃の掲載予定)

$\def\t#1{\text{#1}}\def\dfrac#1#2{\displaystyle\frac{#1}{#2}}$

出題1

平面上に穴のない多角形で囲まれた領域があり，多角形の周 (境界) はその領域の壁だと思ってください．その領域の中に磁石が $2$ つ置かれています．磁石に大きさはなく，点であると考えることにして，$2$ つのうちの一方を A，もう一方を B と呼ぶことにします．私たちは A を領域の中で自由に動かすことができますが，B を勝手に動かすことはできず，A の引力に従って B は動きます．A が動くと，B は，磁石の引力と多角形の壁に接しているときに受ける垂直抗力が釣り合う位置で止まるか，止まらない場合には A と同じ位置まで動きます (実際この 2 つの場合しかないことは認めるものとします)．A が動いた瞬間に B は力の釣り合いの位置に動くこととして，B の動きに慣性はないものとします．

この設定で，どのような穴のない領域であっても，うまく A を動かすことで，A と B を同じ位置に持っていくことはできるでしょうか．

出題：岡本吉央 (電気通信大学大学院情報理工学研究科)

出題2

平面上の有限個の点からなる集合 $X$ について考えます．ここでは，$X$ における $2$ 点間の距離のうち最大の距離を持つ $2$ 点を結ぶ線分のことを，$X$ の直径といいます．また，$X$ に含まれる直径の個数を $X$ の直径数といい，$m(X)$ で表します．例えば，正 $n$ 角形の頂点集合 $R_n$ の直径数は
\begin{align*}
m(R_{2n})=n,\quad m(R_{2n+1})=2n+1
\end{align*}であることが確かめられます(図1 参照)．

図1　正 $8$ 角形と正 $9$ 角形の直径たち

ここでは，$n$ 点からなる集合のうち，直径数が最大であるものについて考え，その最大値を $\tau _n$ とします．つまり，
\begin{align*}
\tau _n=\max \{m(X)\mid |X|=n, X\subset \mathbb{R}^2\}
\end{align*}とします．ここで，$|X|$ は集合 $X$ の元の個数を表します．

(1) 直径数が $5$ 以上である $4$ 点集合は存在しないことを示してください．また，直径数が $4$ である $4$ 点集合はどのようなものであるか答えてください．(このことより，$\tau _4=4$ となることが分かります．)

(2) $n\geqq 5$ に対して，$\tau_n$ を求めてください．また，最大値を与える点集合はどのようなものであるか答えてください．

出題：篠原雅史 (滋賀大学教育学部)